Variance Gamma von Grund auf
1/5Die Zeit selbst ist zufällig
Variance Gamma geht von einer radikalen Idee aus: Statt Sprünge zur Diffusion hinzuzufügen, wird die Zeit selbst stochastisch. Die Brownsche Bewegung läuft auf einer zufälligen Uhr.
Gewöhnliche Brownsche Bewegung nutzt Kalenderzeit: eine Sekunde pro Sekunde, unerbittlich gleichmäßig. VG sagt, der Markt hat seine eigene innere Uhr — einen Gamma-Prozess G(t) —, der mal vorausrast und mal kriecht. Läuft die Uhr schnell, erhält die Brownsche Bewegung mehr „effektive Zeit“ und macht große Bewegungen. Steht die Uhr im Leerlauf, bewegt sich der Preis kaum.
Das Ergebnis: Fat Tails entstehen auf natürliche Weise aus der Zufälligkeit der Uhr, ohne explizit eine Sprunggrößenverteilung anzugeben. Schnelle Uhrphasen erzeugen Cluster großer Bewegungen. Langsame Phasen erzeugen unheimliche Ruhe. Das entspricht dem, wie dünne Krypto-Orderbücher tatsächlich aussehen — lange Phasen ohne Aktivität, dann plötzliche Aktivitätsschübe.
G(t) — Gamma-Prozess mit mittlerer Rate 1 und Varianzrate ν. Dies ist die Zufallsuhr.
θ — Drift innerhalb der Uhr (erzeugt Skew).
σ — Diffusionsvolatilität innerhalb der Uhr.
Das obere Panel unten zeigt den Gamma-Prozess G(t) — die Zufallsuhr. Die gestrichelte Linie ist die Kalenderzeit (die gerade Diagonale). Springt G(t) über die Diagonale, läuft die Zeit schnell. Das untere Panel zeigt den resultierenden VG-Prozess — die Brownsche Bewegung ausgewertet zur zufälligen Zeit G(t).
Erhöhen Sie ν, um die Uhr sprunghafter zu machen. Beobachten Sie, wie der VG-Prozess wilder wird — größere Bewegungen, mehr Clusterbildung. Das ist der Fat-Tail-Mechanismus.
Stellen Sie sich einen Film mit variabler Abspielgeschwindigkeit vor. Manche Szenen laufen in Zeitlupe (ruhiger Markt). Manche Szenen im Schnellvorlauf (Panikverkäufe, Liquidationskaskaden). Der zugrunde liegende Film ist gewöhnliche Brownsche Bewegung. Der Geschwindigkeitsregler ist der Gamma-Prozess. Was das Publikum sieht — der VG-Prozess — enthält bereits die gesamte Dramatik der Geschwindigkeitswechsel.
Die drei Parameter
VG hat die klarste Parameterinterpretation aller Smile-Modelle. Jeder Parameter entspricht genau einem statistischen Moment. Keine Redundanz, keine Korrelationsprobleme.
σ (Sigma) — Diffusionsvolatilität. Die Volatilität der Brownschen Bewegung innerhalb der Zufallsuhr. Steuert das Gesamtniveau des Smiles. Ein höheres σ hebt alles an. Dies ist das Analogon zur Black-Scholes-Volatilität.
θ (Theta) — Drift in der subordinierten Brownschen Bewegung. Steuert den Skew. Wenn θ < 0, driftet der Prozess innerhalb der Zufallsuhr nach unten und der Smile kippt — der Put-Flügel ist steiler als der Call-Flügel. Wenn θ = 0, ist der Smile symmetrisch.
ν (Nu) — Varianz der Gamma-Zeit. Steuert die Exzess-Kurtosis (Dicke der Tails). Ein höheres ν macht die Uhr zufälliger, was dickere Tails und steilere Flügel auf beiden Seiten erzeugt. Dies ist der Parameter, der VG von Black-Scholes unterscheidet.
Drei Experimente:
1. Set θ = 0, ν = 0.01. Nahezu flacher Smile — nah an Black-Scholes. Die Uhr ist fast deterministisch.
2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. Negativer Skew mit moderater Kurtosis. Klassische Krypto-Smile-Form.
3. Set θ = 0, ν = 0.50. Symmetrisch, aber extreme Kurtosis. Beide Flügel schießen nach oben. „Black-Swan-Regime“.
σ → Varianz (2. Moment). θ → Schiefe (3. Moment). ν → Exzess-Kurtosis (4. Moment). Dies ist die sauberste Trennung der Smile-Form in allen Sprung- oder Stochastische-Volatilitäts-Modellen. Heston hat 5 Parameter mit Korrelationen untereinander. VG hat 3 orthogonale Stellhebel.
Es ist tatsächlich ein reiner Sprungprozess
Obwohl VG-Pfade wie zeittransformierte Brownsche Bewegung aussehen (glatt + gestreckt), sind sie technisch gesehen reine Sprungprozesse. Jede Bewegung ist ein Sprung. Es gibt keine stetige Diffusionskomponente in Kalenderzeit.
Das ist philosophisch anders als bei Merton. Bei Merton bewegt sich der Preis die meiste Zeit glatt (Diffusion), mit gelegentlichen großen Sprüngen. Bei VG ist jede Bewegung diskontinuierlich. Der Prozess hat unendliche Aktivität (unendlich viele Sprünge in jedem Intervall), aber endliche Variation (die gesamte Sprunggröße ist beschränkt).
Die meisten dieser Sprünge sind winzig. Einige wenige sind groß. Im Grenzfall vieler winziger Sprünge erscheint der Pfad nahezu stetig — er lässt sich gut durch eine glatte Kurve approximieren. Doch zoomt man nah genug hinein, ist jede Bewegung technisch gesehen ein Sprung. Keine zwei benachbarten Preise sind durch einen stetigen Pfad verbunden.
Das linke Panel zeigt einen VG-Pfad als Treppenfunktion — jeder Zeitschritt ist ein eigener Sprung. Das rechte Panel zeigt einen Merton-Pfad mit glatter Diffusion zwischen seltenen großen Sprüngen (rote Balken). Klicken Sie auf „Regenerate“ und vergleichen Sie:
VG: ständige kleine Sprünge, gelegentlich große. Keine glatten Abschnitte. Der Pfad zappelt überall.
Merton: lange glatte Abschnitte, unterbrochen von plötzlichen vertikalen Sprüngen. Zwei klar unterscheidbare Regime (Ruhe vs. Schock).
In einer Welt reiner Sprünge ist Delta-Hedging per Konstruktion unvollkommen — man kann nicht kontinuierlich handeln, weil der Preis selbst diskontinuierlich ist. Das ist ehrlicher als Merton, wo behauptet wird, man könne den Diffusionsanteil perfekt absichern und nur die seltenen Sprünge seien nicht hedgebar. In dünnen Krypto-Orderbüchern ist jede Ausführung effektiv ein Sprung. VG erkennt diese Realität an.
Die charakteristische Funktion
VG hat eine saubere charakteristische Funktion in geschlossener Form. Das macht Fourier-Pricing praktikabel — europäische Optionen lassen sich schnell und exakt bepreisen, ohne Monte Carlo.
σ geht über den u²-Term ein (Varianzbeitrag).
θ geht über den iu-Term ein (Skew über den Imaginärteil).
ν geht über den Exponenten −T/ν und über die Basis (Kurtosis) ein.
When ν → 0: the exponent → −∞, und die CF konvergiert zur lognormalen BS-CF. VG enthält BS als Grenzfall.
Der Pricing-Workflow: Nehmen Sie diese CF, setzen Sie sie in die Carr-Madan-Formel (1999) oder die COS-Methode ein und wenden Sie eine schnelle Fourier-Transformation an. Sie erhalten Optionspreise über alle Ausübungspreise in einem Durchgang — keine Berechnung pro Strike, kein Simulationsrauschen.
Der Exponent −T/ν ist negativ und wird mit wachsendem T immer negativer. Das bedeutet, die CF fällt für längere Laufzeiten schneller ab, was der Abflachung des VG-Smiles über die Zeit entspricht. Die Zufälligkeit der Uhr mittelt sich über lange Horizonte heraus — ein natürlicher Laufzeitstruktur-Effekt.
VG in der Praxis
VG ist nicht der Branchenstandard — Bates (Heston + Sprünge) dominiert Aktien- und Krypto-Desks. Aber VGs Subordinationsidee taucht überall auf, und das Modell hat spezifische Nischen.
Kreditderivate: VG war ursprünglich in der Kreditmodellierung beliebt. Ein Ausfall ist ein Sprungereignis. VGs reine Sprungnatur handhabt diskontinuierliche Auszahlungen sauber. Madan, Carr und Chang (1998) führten VG teilweise mit Blick auf Kredite ein.
Exotische Aktienoptionen mit einfachen Smile-Anforderungen: Wenn Sie einen 3-Parameter-Smile-Fit mit klarer Momenteninterpretation brauchen, ist VG kaum zu schlagen. Die Kalibrierung ist schnell, weil jeder Parameter eine eindeutige Wirkung hat.
Krypto bei dünnen Handelspaaren: illiquide Krypto-Paare diffundieren nicht glatt — sie springen von einem Preis zum anderen, während Orders ausgeführt werden. VGs reiner Sprungcharakter ist eine ehrlichere Beschreibung dieser Preisbewegung als jedes Diffusionsmodell.
Die Subordinations-Idee: das Konzept, Kalenderzeit durch eine Zufallsuhr zu ersetzen, ist grundlegend. Es taucht in stochastischen Uhren, Business-Time-Modellen, aktivitätsbasierten Modellen und CGMY (einer Verallgemeinerung von VG) auf. Selbst wenn Sie nie eine VG-Option bepreisen, macht das Verständnis von Zeittransformationen jedes andere Modell klarer.
Black-Scholes: flacher Smile. Stetige Pfade. 1 Parameter.
Merton: Smile aus seltenen großen Sprüngen. Glatte Diffusion + Poisson-Sprünge. 4 Parameter.
Kou: Smile aus asymmetrischen Sprüngen. Unabhängige Flügelsteuerung. 5 Parameter.
Variance Gamma: Smile aus einer Zufallsuhr. Reine Sprünge, keine Diffusion. 3 Parameter, einer pro Moment.
Heston: Smile aus stochastischer Volatilität. Stetige Pfade. 5 Parameter.
Bates: Heston + Merton-Sprünge. Das Arbeitspferd. 8 Parameter.
Nächste Schritte:
Merton-Sprungdiffusion — Diffusion + seltene große Sprünge
Kou-Sprungdiffusion — asymmetrische Sprünge mit unabhängigen Flügeln
Heston-Modell — stochastische Volatilität, der andere Weg zum Smile
Bates-Modell — Heston + Sprünge: das Arbeitspferd der Branche