Variance Gamma
Variance Gamma (VG): gar keine Diffusion. Preise bewegen sich zwischen Sprüngen nicht glatt -- jede Bewegung ist ein Sprung. Die Sprünge erfolgen auf einer zufälligen Uhr. Die Zeit läuft während hoher Aktivität schnell und während ruhiger Phasen langsam. Diese zufällige Uhr erzeugt Fat Tails, ohne dass eine „Sprunggrößenverteilung“ wie bei Merton nötig ist. Die resultierende Volatilitätsoberfläche kann Skew und Kurtosis realer Märkte gleichzeitig abbilden.
Drei Parameter steuern alles: Vol (Sigma), Skew (Theta), Kurtosis (Nu).
Die Idee der zufälligen Uhr
Der Markt hat seine eigene interne Uhr, die mit zufälliger Geschwindigkeit läuft. Geschäftige Tage: Die Uhr tickt schnell, Preise bewegen sich stark. Ruhige Tage: Die Uhr bewegt sich kaum. VG = Black-Scholes auf einer zufälligen Uhr. Fat Tails und ein natürlicher Smile ergeben sich, ohne jegliche Annahmen über Crashs oder Sprunggrößen.
Erkunden Sie die Parameter
Probieren Sie zuerst „Thin tails“, um nahe an Black-Scholes zu sehen. Drehen Sie dann Nu (Kurtosis) hoch, um zu beobachten, wie sich die Flügel anheben.
Variance-Gamma-Smile-Explorer
Probieren Sie „Dünne Tails“ für ein nahezu flaches Black-Scholes und erhöhen Sie dann ν, um zu sehen, wie die Flügel durch Exzess-Kurtosis ansteigen.
Was jeder Parameter bewirkt
- Sigma (Volatilität): Die Basis-Vol, wenn die Uhr mit normaler Geschwindigkeit tickt. Dies ist das Gesamtniveau -- wie die ATM-Vol.
- Theta (Skew): Der Drift des Prozesses. Negatives Theta bedeutet, dass sich der Markt in einem gegebenen Zeitschritt tendenziell stärker nach unten als nach oben bewegt. Dies erzeugt einen Put-Skew -- der linke Flügel ist steiler als der rechte.
- Nu (Kurtosis): Steuert, wie „zufällig“ die Uhr ist. Niedriges Nu = die Uhr tickt gleichmäßig (Thin Tails, nahe an Black-Scholes). Hohes Nu = die Uhr ist sehr unregelmäßig (Fat Tails, steile Flügel). OTM-Optionen werden deutlich teurer.
Warum reiner Sprung?
Black-Scholes und sogar Merton nehmen eine kontinuierliche Diffusionskomponente an -- Preise bewegen sich die meiste Zeit glatt, mit gelegentlichen Sprüngen. VG sagt: Vielleicht ist jede Preisbewegung diskontinuierlich. Auf Tick-Ebene springen Preise von einem Niveau zum nächsten. Kein glatter Pfad zwischen Trades. Delta-Hedging ist konstruktionsbedingt unvollkommen -- Sie können die Auszahlung nicht kontinuierlich replizieren.
Eine gute Beschreibung dafür, wie Krypto-Märkte tatsächlich funktionieren -- besonders bei Paaren mit geringer Liquidität, bei denen das Orderbuch dünn ist und Preise von einem Niveau zum anderen springen.
Drei Parameter, drei Momente
VG ist elegant, weil jeder Parameter direkt auf eine statistische Eigenschaft der Renditen abbildet. Sigma steuert die Varianz (zweites Moment), Theta steuert die Schiefe (drittes Moment) und Nu steuert die Exzess-Kurtosis (viertes Moment). Keine Redundanz, keine Kopfschmerzen mit Parameterkorrelationen.
VG vs. andere Modelle
VG in der Praxis
VG ist an traditionellen Desks weniger verbreitet als Heston oder SABR, hat aber eine Nische in Krypto und Kredit:
Ein Parameter pro Moment
Jeder VG-Parameter steuert genau eine statistische Eigenschaft der Renditen. Sauberste Trennung von Skew und Tail-Dicke in jedem Smile-Modell. Die Vega-Exposure unter VG unterscheidet sich von Black-Scholes, weil der implizite Vol-Smile nicht flach ist. Wenn Sie mehr als Black-Scholes wollen, aber nicht die Komplexität von Heston oder SLV benötigen, passt VG.
Gleichungs-Explorer
Rechnen Sie zwischen impliziter Vol, Gesamtvarianz, Log-Moneyness und Optionspreisen um.
Gleichungs-Explorer
💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.
Mathematische Intuition aufbauen
Variance Gamma von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötigDiese Lektion vermittelt Variance Gamma durch das mentale Modell der zufälligen Uhr und zeigt dann, wie Theta, Sigma und Nu Skew, gewöhnliche Bewegungsgröße und Tail-Dicke steuern.
Siehe auch:
- Black-Scholes -- Die reine Diffusions-Basislinie
- Merton Jump-Diffusion -- Diffusion plus Sprünge
- Heston-Modell -- Stochastische Vol (diffusionsbasiert)
- Interpolationsmethoden -- Alle Modelle im Vergleich