Vanna-Volga von Grund auf
1/5Drei liquide Optionen bepreisen alles
Vanna-Volga nutzt genau drei Marktquotierungen, um einen ganzen Smile zu konstruieren. Der 25Δ Put, der ATM-Straddle und der 25Δ Call. Das ist der gesamte Input. Alles Weitere wird daraus abgeleitet.
An FX-Märkten quotieren Dealer Optionspreise nicht nach Strike. Sie quotieren drei Zahlen:
ATM vol (σATM). Die Volatilität des Straddles am Geld (ATM). Sie setzt das Gesamtniveau des Smiles.
25Δ risk reversal (RR). Die Differenz zwischen der 25-Delta-Call-Vol und der 25-Delta-Put-Vol. Sie erfasst den Skew -- wie stark sich der Smile neigt.
25Δ butterfly (BF). Der Durchschnitt der 25-Delta-Put- und -Call-Vols abzüglich der ATM-Vol. Sie erfasst die Krümmung -- wie stark sich beide Flügel über ATM heben.
Aus diesen drei Zahlen lassen sich die einzelnen Vols zurückgewinnen:
Die Vanna-Volga-Methode nimmt diese drei liquiden Referenzpunkte und konstruiert einen vollständigen Smile mit der Frage: Was ist der günstigste Weg, das Smile-Risiko einer beliebigen Zieloption mit diesen drei Instrumenten abzusichern?
Stellen Sie sich ATM, RR und BF als drei Regler an einem Mischpult vor. ATM ist die Gesamtlautstärke. RR ist der Balance-Regler (links vs. rechts). BF ist der Lautstärke-Boost (beide Seiten). Drei Regler, ein Smile.
Was sind Vanna und Volga?
Vanna und Volga sind die beiden Greeks zweiter Ordnung, deren Existenz Black-Scholes ignoriert. Sie messen die Sensitivität gegenüber Smile-Risiko -- den Kreuzeffekt zwischen Spot und Vol (Vanna) und die Konvexität in der Vol (Volga).
Vanna = ∂²V / ∂S∂σ. Das ist die Sensitivität des Deltas gegenüber Vol-Änderungen, oder gleichbedeutend die Sensitivität des Vegas gegenüber Spot-Änderungen. Bewegt sich die Vol, verschiebt sich das Delta. Bewegt sich der Spot, verschiebt sich das Vega. Beide Effekte sind Vanna.
Vanna ist nahe ATM am größten und ist antisymmetrisch um den Forward. Für Puts (linker Flügel) ist Vanna positiv: Steigt die Vol, wird das Delta des Puts negativer (weiter im Geld im Wahrscheinlichkeitsraum). Für Calls (rechter Flügel) ist Vanna negativ.
Volga = ∂²V / ∂σ². Das ist das Vol-Gamma -- die Konvexität des Optionspreises bezüglich der Vol. Eine Option mit positivem Volga profitiert von Vol-Bewegungen in beide Richtungen.
Volga ist in den Flügeln am größten und ist symmetrisch um den Forward. Tief aus dem Geld (OTM) liegende Puts und Calls haben beide ein großes positives Volga. ATM-Optionen haben ein Volga nahe null.
Das Diagramm oben zeigt die beiden Profile über die Strikes hinweg. Black-Scholes nimmt einen flachen Smile an und bepreist Vanna- und Volga-Exposure daher zu Nullkosten. In einem realen Markt mit Smile ist das Halten von Vanna- und Volga-Exposure jedoch nicht kostenlos -- es hat einen Preis, und dieser Preis ist genau die Smile-Anpassung, die Vanna-Volga berechnet.
Delta und Gamma sind Effekte erster Ordnung, die Black-Scholes abdeckt. Vega ist eine Vol-Sensitivität erster Ordnung, die BS ebenfalls abdeckt (obwohl das Modell konstante Vol annimmt, hat es dennoch ein Vega). Die Vol-Effekte zweiter Ordnung -- wie sich Delta mit der Vol ändert (Vanna) und wie sich Vega mit der Vol ändert (Volga) -- sind genau das, was der Smile kodiert. Ein Smile ist nichts anderes als die Bepreisung von Vanna- und Volga-Risiko durch den Markt.
Das Replikationsargument
Die Kernidee: Konstruieren Sie ein Portfolio aus den drei liquiden Benchmark-Optionen, das Vanna und Volga der Zieloption abbildet. Die Kosten dieses Hedging-Portfolios -- über seinen Black-Scholes-Wert hinaus -- sind die Smile-Korrektur.
Beginnen Sie mit einer Zieloption an einem beliebigen Strike K. Berechnen Sie ihr Vanna und Volga unter Black-Scholes (mit ATM-Vol). Finden Sie nun Gewichte (x₁, x₂, x₃) für die drei Benchmark-Optionen, sodass gilt:
Sobald Sie die Gewichte haben, lautet der VV-Preis:
Ziehen Sie den Ziel-Strike im Widget oben. Beobachten Sie, wie sich die Replikationsgewichte verschieben:
Ziel nahe 25Δ Put: Fast das gesamte Gewicht entfällt auf die Put-Benchmark. Die ATM- und Call-Benchmarks tragen wenig bei.
Ziel nahe ATM: Die ATM-Benchmark dominiert. Die Korrektur ist klein, weil BS am Geld (ATM) nahezu korrekt ist.
Ziel zwischen den Benchmarks: Die Gewichte interpolieren glatt. Der Smile an jedem dazwischenliegenden Strike ist eine gewichtete Kombination der drei Referenzpunkte.
Die Formel
Rechnet man die Replikationsgewichte explizit aus, zerfällt die VV-Korrektur sauber in zwei Terme: eine Vanna-Korrektur, die den Skew erzeugt, und eine Volga-Korrektur, die die Krümmung erzeugt.
Volga-Term: proportional zum Butterfly. Symmetrisch -- addiert bei beiden Flügeln gleichermaßen.
Diese Zerlegung ist der Grund, warum die Methode Vanna-Volga heißt. Die gesamte Smile-Korrektur wird durch zwei Effekte erklärt:
Die Vanna-Korrektur ist antisymmetrisch um ATM. Sie wird durch die Risk-Reversal-Quotierung getrieben. Quotiert der Markt einen stark negativen RR (Puts teurer als Calls), neigt die Vanna-Korrektur den Smile nach links. Für tief OTM liegende Puts ist die Korrektur am größten und positiv (fügt Prämie hinzu). Für tief OTM liegende Calls ist sie negativ (nimmt Prämie weg).
Die Volga-Korrektur ist symmetrisch um ATM. Sie wird durch die Butterfly-Quotierung getrieben. Quotiert der Markt einen großen BF, hebt die Volga-Korrektur beide Flügel an. ATM bleibt unberührt (das Volga ist dort nahe null). Je weiter Sie in die Flügel gehen, desto größer wird die Korrektur.
Das gestapelte Balkendiagramm oben zeigt beide Korrekturen über die Strikes hinweg. Beachten Sie:
Die blauen Balken (Vanna) sind links negativ und rechts positiv -- das ist die Skew-Komponente.
Die orangefarbenen Balken (Volga) sind überall in den Flügeln positiv -- das ist die Krümmungskomponente.
Die grüne Linie ist die Gesamtkorrektur. Auf der Put-Seite verstärken sich Vanna und Volga gegenseitig (beide fügen Prämie hinzu). Auf der Call-Seite heben sie sich teilweise auf (Vanna subtrahiert, Volga addiert). Deshalb sind Put-Flügel typischerweise steiler als Call-Flügel.
FX-Desks lieben sie, Aktien-Desks nicht
Vanna-Volga ist das dominierende Smile-Modell im Devisenhandel, weil der FX-Markt buchstäblich ATM, RR und BF quotiert. Die Inputs des Modells sind die Muttersprache des Marktes. Bei Aktien und Krypto quotiert der Markt Strikes direkt, und die Drei-Punkt-Annahme von VV ist zu starr.
Warum FX sie liebt: Der Interbanken-FX-Optionsmarkt hat sich auf Quotierungskonventionen standardisiert, die direkt auf die Vanna-Volga-Inputs abbilden. Ein Dealer sieht ATM = 8.2, RR = -1.3, BF = 0.4 und hat sofort die drei für VV benötigten Vols. Kein Kalibrierungsschritt. Kein Optimierer. Nur Algebra.
Für FX-Vanillas an Standard-Deltas ist VV schnell, genau und arbitragefrei. Für Exoten der ersten Generation (One-Touch, Double-No-Touch) liefert VV schnelle Näherungspreise, die erstaunlich nah an den Ergebnissen vollständiger Modelle liegen.
Warum Aktien/Krypto nicht: Börsengelistete Aktien- und Krypto-Optionen liefern ein vollständiges Preisgitter über viele Strikes und Verfallstermine. Sie haben weit mehr als drei Datenpunkte. Ein Drei-Parameter-Modell an dreißig Strikes anzupassen, wirft Information weg.
Schlimmer noch: Der VV-Smile ist nicht flexibel genug, um die tatsächlichen Formen an Aktien- und Krypto-Märkten abzubilden. Steile kurzlaufende Skews, mit dem Verfall variierende Flügelkonvexität, Laufzeitstruktur des Butterfly -- nichts davon lässt sich mit drei Zahlen erfassen.
In diesen Märkten sind SVI, SSVI oder SLV die bessere Wahl, weil sie die volle Vielfalt der beobachteten Oberfläche aufnehmen können.
Selbst an Desks, die VV nicht für die Produktionsbepreisung nutzen, ist die Methode als mentales Modell wertvoll. "Diese Option kostet mehr als BS wegen Vanna und Volga" ist eine vollständige Erklärung dafür, warum Smiles existieren. Die Zerlegung in Skew (Vanna) und Krümmung (Volga) hilft Tradern zu verstehen, was den Preis jeder Option treibt -- auch wenn die tatsächliche Bepreisung ein ausgefeilteres Modell verwendet.
Erweiterungen: Die Basis-VV-Methode verwendet 25-Delta-Benchmarks. Manche Desks erweitern sie auf fünf Punkte (mit 10-Delta-Put und -Call), um das Flügelverhalten besser zu erfassen. Andere nutzen ein "VV zweiter Ordnung" mit Greeks höherer Ordnung. Aber an diesem Punkt bauen Sie ein komplizierteres Modell und könnten ebenso gut SVI verwenden.
In Krypto: Das VV-Framework wird gelegentlich für schnelles Kopfrechnen genutzt -- "wie viel sollte dieser OTM-Put angesichts von RR und BF am Markt kosten?" -- aber es ist kein Produktionsmodell. Krypto-Volatilitätsoberflächen sind zu verrauscht und zu steil für eine Drei-Punkt-Interpolation. Der Wert ist konzeptionell, nicht operativ.
Nächste Schritte:
Black-Scholes -- das Basismodell, das VV anpasst
Greeks-Referenz -- vollständige Behandlung von Vanna, Volga und weiteren Sensitivitäten zweiter Ordnung
SVI-Parametrisierung -- die strike-basierte Alternative für Aktien-/Krypto-Smiles
Stochastic Local Vol -- das Produktionsmodell für die Bepreisung von Exoten