SVI von Grund auf

1/5

Abschnitt 1

Was ist SVI?

SVI steht für Stochastic Volatility Inspired. Es ist eine Formel mit 5 Parametern, die die Form eines Volatilitäts-Smiles für einen einzelnen Verfall beschreibt.

Die meisten Smile-Modelle arbeiten im Raum der impliziten Volatilität. SVI ist anders: Es parametrisiert die gesamte implizite Varianz als Funktion der Log-Moneyness. Das mag wie ein Umweg klingen, macht Arbitrage-Bedingungen aber trivial einfach.

Die Formel lautet:

SVI-Gesamtvarianz

w(k) = a + b(ρ(k − m) + √((k − m)² + σ²))

w(k) is total implied variance = σ_imp² · T. k = ln(K/F) is log-moneyness. Five parameters: a, b, ρ, m, σ.

Bewegen Sie die Regler unten, um zu sehen, wie sich die Gesamtvarianzkurve verändert. Die x-Achse ist die Log-Moneyness (negativ = Puts aus dem Geld (OTM), positiv = Calls aus dem Geld (OTM)). Die y-Achse ist die gesamte implizite Varianz.

Gesamtvarianz w(k)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Warum „Gesamtvarianz“?

Black-Scholes verwendet die implizite Volatilität (σ_imp). Doch die Volatilität hängt sowohl von der Smile-Form als auch von der Restlaufzeit ab. Die Gesamtvarianz w = σ_imp² · T klammert die Zeit aus und liefert eine Größe, die monoton mit der Laufzeit wächst. Genau diese Monotonie braucht man, um Kalender-Arbitragefreiheit sicherzustellen.

Abschnitt 2

Die 5 Parameter

Jeder Parameter steuert einen geometrischen Aspekt des Smiles. Klicken Sie sie nacheinander durch und beobachten Sie, was sich ändert.

Die gestrichelte Linie ist die Basislinie (ein typischer Smile mit Put-Skew). Die durchgezogene farbige Linie zeigt, was passiert, wenn Sie den hervorgehobenen Parameter verändern. Alles andere bleibt fest.

a -- overall variance level

Shifts the entire curve up or down uniformly. Higher a means higher implied volatility everywhere. Think of it as a baseline variance that applies to all strikes.

a (level)0.040

Standard: 0.040Gestrichelt = Basiskurve

Flügelverhalten: weit weg von ATM nähert sich der Smile Geraden an. Die Steigung des Put-Flügels ist b(1 − ρ), die des Call-Flügels b(1 + ρ). Bei typischem Put-Skew (ρ < 0) ist der linke Flügel steiler.

Asymptotische Steigungen

Put wing: b(1 − ρ)     Call wing: b(1 + ρ)

Diese beschränkten, linearen Flügel sind einer der wichtigsten Vorteile von SVI. Der Smile extrapoliert nie zu absurden Werten.

Abschnitt 3

Von der Varianz zur Volatilität

SVI liefert die Gesamtvarianz w(k). Der vertraute IV-Smile ist nur eine Quadratwurzel entfernt.

Varianz zu IV

σ_BS(k) = √(w(k) / T)

Teilen Sie die Gesamtvarianz durch die Restlaufzeit und ziehen Sie dann die Quadratwurzel. Das ergibt die implizite Volatilität an jedem Strike.

Unten werden beide Kurven aus denselben SVI-Parametern erzeugt. Das linke Panel zeigt die Gesamtvarianz (der Raum, in dem SVI arbeitet). Das rechte Panel zeigt den impliziten Volatilitäts-Smile (der Raum, in dem Trader denken). Bewegen Sie die Regler und beobachten Sie, wie sich beide gleichzeitig aktualisieren.

Gesamtvarianz w(k)

Implizite Vol. (%)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Beachten Sie, dass die Varianzkurve glatter und „V-förmiger“ ist als die Volatilitätskurve. Die Quadratwurzel staucht große Werte und streckt kleine, sodass der Volatilitäts-Smile runder erscheint.

Warum das für die Praxis wichtig ist: beim Fitten von SVI optimieren Sie im Varianzraum (wo die Formel lebt), bewerten die Qualität des Fits aber anhand der IV-Residuen (wo Trader quotieren).

Abschnitt 4

Arbitragefreiheits-Bedingungen

Nicht alle SVI-Parameterkombinationen sind gültig. Manche erzeugen Smiles, die Arbitragefreiheits-Bedingungen verletzen. Nutzen Sie das Widget unten, um die Grenze zu finden.

Es gibt drei zentrale Bedingungen. Wird eine davon verletzt, existiert eine risikofreie Gewinnmöglichkeit — der Smile kann dann nicht der wahre Marktpreis des Risikos sein.

Butterfly-Bedingung

b(1 + |ρ|) ≤ 4/T

Verhindert negative lokale Varianz. Ist sie verletzt, haben Butterfly-Spreads negative Kosten — risikoloser Gewinn.

Nichtnegatives Minimum

a + bσ√(1 − ρ²) ≥ 0

Das Minimum des Smiles muss über null liegen. Negative Gesamtvarianz ist physikalisch nicht möglich.

Roger-Lee-Momentenformel

b(1 + |ρ|) ≤ 2

Begrenzt, wie schnell die Flügel wachsen dürfen. In der Praxis ist die Butterfly-Bedingung für kurzlaufende Optionen bindender.

Probieren Sie die Voreinstellungen unten aus und bewegen Sie dann die Regler, um die Grenzen zu sehen. Die Kurve wird rot, wenn eine Bedingung verletzt ist.

Butterfly: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 48.7Min variance: 0.0782 ≥ 0Lee moment: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 2

Keine Arbitrage — dieser Smile ist sicher

a (level)0.040

b (angle)0.200

ρ (rotation)-0.30

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.200

Abschnitt 5

Kalibrierung

Finden Sie zu am Markt beobachteten impliziten Volatilitäten die 5 SVI-Parameter, die sie am besten reproduzieren. Versuchen Sie es von Hand.

Die orangen Kreise sind synthetische Marktquotierungen — ein realistischer BTC-Smile bei 30 DTE. Die grüne Kurve ist der SVI-Fit. Vertikale Linien zeigen das Residuum (den Fehler) an jedem Punkt.

Passen Sie die Regler an, um den RMSE zu minimieren. Klicken Sie auf „Besten Fit anzeigen“, um einen nahezu optimalen Parametersatz zu sehen.

RMSE44.82%(Schlecht)

SVI-FitMarktdatenResiduum

a (level)0.040

b (angle)0.150

ρ (rotation)-0.10

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.250

In der Praxis: ein numerischer Optimierer (Levenberg-Marquardt oder SLSQP) erledigt das in unter 10 ms pro Verfall. Der Optimierer minimiert die gewichtete Summe der quadrierten Residuen und erzwingt dabei die Arbitrage-Bedingungen aus Abschnitt 4.

Die Initialisierung ist entscheidend: ein schlechter Startwert kann den Optimierer in einem lokalen Minimum gefangen halten. Übliches Vorgehen: a aus der ATM-Varianz setzen, b aus der beobachteten Flügelsteigung, ρ ≈ −0.3, m ≈ 0, σ ≈ 0.1.

Nächste Schritte:

SVI-Referenzseite — vollständige Parametertabelle, Fitting-Details, Varianten

ORC Wing (Jump-Wing) — SVI für Trader umparametrisiert

SSVI — Erweiterung von SVI auf die gesamte Oberfläche