Stochastische Volatilitätsmodelle
Volatilität bewegt sich. Sie schießt bei Crashs in die Höhe, komprimiert sich in ruhigen Phasen und kehrt über die Zeit zum Mittelwert zurück. Stochastische Volatilitätsmodelle machen die Volatilität selbst zu einem Zufallsprozess, der sich parallel zum Preis entwickelt.
Zufällige Volatilität erzeugt den Smile
Black-Scholes nimmt eine konstante Volatilität an — kein Smile. Sobald die Volatilität zufällig ist, erscheint der Smile. Jedes Modell in diesem Abschnitt tut genau das, mit unterschiedlichen Annahmen darüber, wie sich die Volatilität bewegt.
Der Stammbaum
Was sie gemeinsam haben
Alle stochastischen Volatilitätsmodelle haben dieselbe Grundstruktur: Der Preisprozess hat eine zufällige Volatilitätskomponente, und diese Volatilitätskomponente folgt ihrem eigenen stochastischen Prozess. Die Unterschiede liegen darin, wie dieser Volatilitätsprozess aussieht:
Wie Sie das richtige Modell wählen
- Sie müssen nur den aktuellen Smile fitten? → Dann brauchen Sie vermutlich SVI, kein stochastisches Volatilitätsmodell.
- Sie müssen vorhersagen, wie sich der Smile bewegt? → SABR ist der Standard.
- Sie bepreisen Exoten über die gesamte Laufzeitstruktur? → Bates oder SLV.
- Sie bauen einen produktiven Exotic-Pricer? → Stochastic Local Vol (ein Hybrid) ist das, was die meisten Desks einsetzen.
- Sie wollen verstehen, warum der kurzfristige Skew steil ist? → Rough Bergomi.
- Sie lernen die Grundlagen? → Beginnen Sie mit Heston. Alles andere baut darauf auf.
Wie sie zueinander in Beziehung stehen
Heston ist das Fundament. Bates fügt Heston Sprünge hinzu. SABR geht einen anderen Weg — keine Mean Reversion, aber ein Backbone, der die Volatilität an das Preisniveau koppelt. ZABR verallgemeinert den Backbone von SABR. Rough Bergomi ersetzt den gesamten Volatilitätsprozess durch etwas Raueres und empirisch besser Fundiertes, ist aber zu langsam für den Produktiveinsatz.
Im Krypto-Bereich ist SABR am wichtigsten, um die Smile-Dynamik zu verstehen und SVI-Fits zu initialisieren. Bates ist relevant für Exotic Desks, die Sprünge benötigen. Heston und Rough Bergomi sind konzeptioneller Natur — sie erklären, warum Smiles so aussehen, wie sie aussehen.
Modelle in diesem Abschnitt:
- Heston-Modell — Das ursprüngliche stochastische Volatilitätsmodell
- Bates-Modell — Heston + Sprünge für Gap-Risiko
- SABR-Modell — Dynamisches Smile-Modell für Zinsen und FX
- ZABR-Modell — SABR mit flexiblem Backbone
- Rough Bergomi — Raue Volatilität (theoretische Grenze der Forschung)