Stochastische lokale Volatilität von Grund auf
1/5Die lokale Vol liefert die richtigen Preise, aber die falsche Dynamik
Dupires lokales Volatilitätsmodell leistet etwas Bemerkenswertes: Es kalibriert sich perfekt auf jeden Vanilla-Optionspreis am Markt, gleichzeitig. Null Kalibrierungsfehler. Der Haken ist, was danach passiert.
Die lokale Volatilität weist jedem Spot-Niveau und jedem Zeitpunkt eine eindeutige Volatilität σ(S, t) zu. Bei gegebener beobachteter Oberfläche der Vanilla-Preise gibt es genau eine lokale Vol-Funktion, die sie alle reproduziert. Die Konstruktion ist deterministisch – keine Optimierung, kein Restfehler.
Was ist also falsch? Die Dynamik. Die lokale Vol prognostiziert, wie sich der Smile bei Spot-Bewegungen entwickelt, und liegt mit dieser Prognose gründlich daneben.
Fällt der Spot um 5 %, sollte sich der Smile laut lokaler Vol am linken Flügel abflachen. Das Modell liest einen niedrigeren Spot und greift auf einen anderen Ausschnitt von σloc zu, der dort zufällig flacher ist. In realen Märkten passiert jedoch das Gegenteil: Ein Ausverkauf von 5 % lässt den Smile steiler werden – denn die realisierte Vol steigt und die Nachfrage nach Absicherung gegen Kursverluste nimmt zu.
Lokale Volatilität ist eine perfekte Momentaufnahme des heutigen Smiles. Aber Fotografien bewegen sich nicht. Wenn sich der Spot verschiebt, sagt die lokale Volatilität den neuen Smile voraus, indem sie eine andere Spalte in derselben statischen Tabelle nachschlägt. Der Markt hat währenddessen die gesamte Tabelle neu bepreist.
Das ist für Exoten wichtig. Eine Barrier-Option hängt davon ab, wie der Smile aussieht, wenn der Spot nahe der Barriere liegt – nicht nur, wie er heute aussieht. Wenn Ihr Modell den falschen zukünftigen Smile prognostiziert, bepreist es die Barriere falsch und hedgt sie falsch.
Die stochastische Vol liefert die richtige Dynamik, aber die falschen Preise
Heston, SABR und ihre Verwandten behandeln Volatilität als Zufallsvariable mit ihrem eigenen stochastischen Prozess. Dies erzeugt eine realistische Smile-Entwicklung: Wenn der Spot fällt, steigt die Volatilität und der Smile versteilt sich. Aber die Anpassung an die heutigen Vanilla-Preise ist bestenfalls näherungsweise.
Ein Modell wie Heston hat fünf freie Parameter. Fünf Zahlen können nicht gleichzeitig Hunderte beobachteter Optionspreise über alle Strikes und Verfälle hinweg treffen. Der Fit ist immer ein Kompromiss – ordentlich nahe ATM, in den Flügeln zunehmend schlechter.
Man könnte weitere Parameter hinzufügen (Double Heston, Bates mit Sprüngen), aber die Lücke schließt sich nie ganz. Es bleibt immer ein Kalibrierungsresiduum. Für Vanilla-Pricing und Market-Making ist dieses Residuum liegen gelassenes Geld.
Die drei Panels oben erzählen die Geschichte. Nach einem Spot-Rückgang von 5 %:
Lokale Vol prognostiziert, dass der Smile flacher wird – falsch.
Stochastische Vol sagt voraus, dass sich der Smile versteilt -- richtig, aber beachten Sie, dass er von vornherein den heutigen Smile nicht perfekt getroffen hat.
SLV liefert beides: Es startet heute mit einem perfekten Fit und entwickelt sich realistisch.
Wenn Sie Vanillas quotieren, gewinnt die lokale Vol – sie bepreist sie exakt. Wenn Ihnen wichtig ist, wie sich Ihr Buch bei Spot-Bewegungen verhält, gewinnt die stochastische Vol – sie prognostiziert realistische Greeks. Für das Pricing von Exoten brauchen Sie beides. Hier kommt SLV ins Spiel.
SLV kombiniert beides
Die stochastische lokale Volatilität betreibt zwei Engines parallel. Die lokale Vol-Komponente übernimmt die Kalibrierung. Die stochastische Komponente fügt realistische Dynamik hinzu. Ein Mischungsverhältnis α steuert die Gewichtung.
Second line: L folgt seiner eigenen Diffusion, angetrieben durch die Vol-of-Vol ν.
Special cases: Wenn ν = 0 ist, ist L deterministisch und Sie erhalten reine Local Vol. Wenn σloc konstant ist, erhalten Sie reine stochastische Vol. Das Mischungsverhältnis α steuert, wie viel der Gesamtvarianz von jeder Komponente stammt.
Die Intuition: σloc(S, t) ist die Dupire-Funktion, die bereits auf den Markt kalibriert ist. Die Multiplikation mit einem stochastischen L stört die Dynamik, ohne die Kalibrierung zu zerstören – solange L so kalibriert ist, dass sich die Störung herausmittelt. Genau diese Kalibrierung von L leistet die Leverage-Funktion.
Das Mischungsverhältnis α (oft in den Vol-of-Vol-Parameter eingebettet) bestimmt, wie viel Zufälligkeit in L einfließt und wie viel in σloc verbleibt. Am einen Extrem (α = 0) wird die gesamte Varianz durch Local Vol erklärt und die Smile-Dynamik ist deterministisch. Am anderen Extrem (α = 1) ist die Local Vol flach und der stochastische Prozess treibt alles an.
Ziehen Sie den Slider oben. Beobachten Sie den prognostizierten zukünftigen Smile:
α = 0 (reine Local Vol): Der zukünftige Smile bewegt sich relativ zu heute kaum. Der linke Flügel flacht leicht ab. Das ist die Pathologie der lokalen Vol.
α = 1 (reine stochastische Vol): Der zukünftige Smile wird dramatisch steiler. Die Vol springt auf ganzer Linie nach oben. Das ist realistisch, kann aber überkorrigieren.
α = 0.5 (ausgewogen): Ein Mittelweg. Der Smile wird steiler, aber moderat. Hier landen die meisten Produktionskalibrierungen.
Die Leverage-Funktion
L(S, t) ist der Kalibrierungskitt. Sie wird so berechnet, dass die erwartete lokale Volatilität – gemittelt über alle stochastischen Pfade – dem Markt entspricht. Bei ausgewogener Mischung bleibt L überall nahe 1. Dominiert eine Komponente, muss L härter arbeiten.
Formal ist L(S, t) durch die Bedingung definiert:
In der Praxis wird L numerisch berechnet, entweder mit einer Vorwärts-PDE (Fokker-Planck) oder einer Partikelmethode (Monte Carlo mit Dichteschätzung). Die Vorwärts-PDE propagiert die gemeinsame Dichte von (S, L) in der Zeit vorwärts und extrahiert L an jedem Gitterpunkt. Die Partikelmethode simuliert viele Pfade, gruppiert sie nach Spot-Niveau und löst L innerhalb jedes Bins.
Die zentrale Erkenntnis: Wenn α nahe 0,5 liegt, ist L überall nahe 1, weil sich beide Komponenten die Last gleichmäßig teilen. Wenn α nahe 0 oder 1 liegt, entwickelt L Struktur -- Spitzen in den Flügeln, Täler nahe ATM --, weil eine Komponente fast die gesamte Arbeit übernimmt und L dies ausgleichen muss.
Die Heatmap oben zeigt L(S, t) über Spot und Zeit. Ziehen Sie den Mischungs-Slider und beobachten Sie:
Ausgewogen (α ≈ 0.5): Einheitlich dunkle Farbe. L ist überall ungefähr 1. Beide Komponenten tragen gleichermaßen bei. Das ist der ideale Arbeitspunkt.
Local-Vol-dominiert (α ≈ 0): L entwickelt warme (orange/rote) Stellen in den Flügeln. Die stochastische Komponente hat wenig eigene Varianz, daher muss L die Hauptarbeit leisten, um den Markt zu treffen.
Stoch-Vol-dominiert (α ≈ 1): L entwickelt kühle (blaue) Stellen. Die stochastische Komponente schießt in manchen Regionen über das Ziel hinaus, und L muss sie zurückholen.
Der Standard für das Pricing von Exoten
SLV ist das, was große Banken tatsächlich für Barriers, Asians und Cliquets einsetzen. Es ist der Produktionsstandard, weil es das einzige Modell ist, das gleichzeitig auf Vanillas kalibriert und vertretbare Exoten-Preise liefert.
Barriers. Eine Knock-out-Option erlischt, wenn der Spot eine Barriere berührt. Ihr Wert hängt entscheidend davon ab, wie der Smile nahe dem Barriere-Niveau aussieht. Die lokale Vol liefert dort den falschen Smile. Die stochastische Vol liefert die richtige Dynamik, aber die falschen Ausgangspreise. SLV liefert beides – und der resultierende Barrier-Preis kann um mehrere Prozent des Nominals von der lokalen Vol abweichen.
Asians. Eine asiatische Option mittelt den Spot über ein Zeitfenster. Die Mittelung dämpft den Effekt der Smile-Dynamik, daher ist der Unterschied zwischen SLV und lokaler Vol hier kleiner. Er ist aber weiterhin nicht null, und Desks, die große Nominale handeln, achten darauf.
Cliquets. Forward-startende Optionen, die sich periodisch zurücksetzen. Diese reagieren extrem empfindlich auf den Forward-Smile -- wie der Smile an jedem Reset-Datum aussehen wird. Der Vorteil von SLV ist hier am größten, weil Cliquets im Wesentlichen eine Wette auf die Smile-Dynamik sind.
SLV ist nicht umsonst. Die Leverage-Funktion muss neu berechnet werden, sobald sich die Parameter der stochastischen Vol ändern, was die Kalibrierung zu einem iterativen Prozess macht: stochastische Vol-Parameter fitten, L berechnen, Vanilla-Fit prüfen, anpassen, wiederholen. Diese äußere Schleife ist rechenintensiv und führt zu Modellrisiko bei der Wahl von α.
Die Wahl des Mischungsverhältnisses ist selbst eine Ermessensentscheidung. Unterschiedliche α Werte erzeugen unterschiedliche Preise für Exoten, während dieselben Vanillas abgebildet werden. Banken legen α typischerweise fest, indem sie an liquide Exoten-Trades kalibrieren (z. B. Barrier Reversals im FX-Bereich) oder durch fachliche Einschätzung, wie sehr die Smile-Dynamik für ihr Buch von Bedeutung ist.
Modellrisiko. Das Mischungsverhältnis ist der wichtigste Modellrisiko-Parameter im produktiven Pricing von Exoten. Zwei Desks, die SLV mit unterschiedlichen α-Werten verwenden, stimmen bei jeder Vanilla überein, aber nicht bei Barriers. Das ist kein Fehler – es spiegelt echte Unsicherheit darüber wider, wie sich der Smile entwickeln wird.
Im Krypto-Bereich: SLV ist weniger verbreitet, weil der Markt für Exoten kleiner ist und die Vanilla-Oberfläche selbst verrauscht ist. Die meisten Krypto-Desks verwenden SVI oder SSVI für das Fitten der Oberfläche und lokale Vol oder direkte Simulation für pfadabhängige Produkte. Mit der Reifung des Krypto-Optionsmarkts wird SLV relevanter werden.
Weiterführende Themen:
Local Volatility – das Dupire-Modell im Detail
Heston Model – die gängigste stochastische Vol-Engine innerhalb von SLV
SABR Model – stochastische Vol ohne Mean Reversion, verbreitet im Zinsbereich
Vanna-Volga – eine einfachere Smile-Konstruktion aus drei Marktquotierungen