SSVI von Grund auf

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Abschnitt 1

Von SVI zu SSVI

SVI passt einen Volatilitäts-Smile an einem einzelnen Verfall an. Das gelingt gut -- fünf Parameter, eine saubere Form. Aber eine Volatilitätsoberfläche besteht aus vielen übereinandergestapelten Verfallsterminen. Jeden Slice unabhängig zu fitten, erzeugt ein Problem.

Wenn Sie jeden Slice mit seinen eigenen SVI-Parametern fitten, garantiert nichts, dass die Gesamtvarianz von einem Verfall zum nächsten bei jedem Strike zunimmt. Wenn dies nicht der Fall ist, haben Sie ein Kalender-Spread-Arbitrage -- ein Gratisgeld-Trade, bei dem Sie die kurzlaufende Option verkaufen und die langlaufende kaufen.

SSVI löst das, indem die gesamte Oberfläche aus einer einzigen Parametrisierung aufgebaut wird. Statt 5 Parametern pro Slice wird die gesamte Oberfläche gesteuert durch:

Die zwei Schlüsselelemente

θ(t) = ATM-Gesamtvarianz zum Zeitpunkt t

φ(θ) = ATM-Skew-Funktion (steuert die Steilheit des Smiles)

θ(t) wird direkt aus ATM-Optionspreisen beobachtet. φ(θ) kodiert, wie sich die Smile-Form mit der Laufzeit ändert. Zusammen mit einem einzigen Skew-Parameter ρ definieren sie die gesamte Oberfläche.

Analogie

Stellen Sie sich Per-Slice-SVI so vor, als bekäme jedes Stockwerk eines Gebäudes einen eigenen Architekten. Jedes Stockwerk mag großartig aussehen, aber die Treppen zwischen den Etagen passen möglicherweise nicht zusammen. SSVI engagiert einen Architekten für das ganze Gebäude -- die einzelnen Stockwerke sind etwas weniger individuell, aber alles fügt sich zusammen.

Abschnitt 2

Die SSVI-Parametrisierung

Eine Formel. Drei Regler. Bewegen Sie die Slider unten und beobachten Sie, wie sich der Smile neu formt.

SSVI-Gesamtvarianz

w(k, θ) = θ/2 · (1 + ρφ(θ)k + √((φ(θ)k + ρ)² + (1 − ρ²)))

k ist die Log-Moneyness (ln(K/F)). Bei k=0 sind Sie am Geld (ATM). Negatives k bedeutet Calls im Geld (OTM-Puts).

Spielen Sie mit jedem Parameter, um ein Gefühl dafür zu entwickeln, was er steuert:

θ0.04

ρ-0.30

φ1.50

θ verschiebt das Gesamtniveau -- höhere ATM-Varianz bedeutet, dass der gesamte Smile nach oben wandert. ρ neigt den Smile -- ein negatives ρ erzeugt den Put-Skew, den Trader erwarten. φ steuert, wie breit die Flügel sind.

Abschnitt 3

Kalender-Spread-Arbitrage

Der eigentliche Zweck von SSVI: Kalender-Arbitragefreiheit per Konstruktion. Aber nur, wenn φ richtig gewählt ist.

Kalender-Spread-Arbitrage bedeutet: Die Gesamtvarianz an einem bestimmten Strike sinkt von einem kürzeren zu einem längeren Verfall. Das kann in einem fairen Markt nicht passieren -- es würde Ihnen kostenloses Geld verschaffen.

Vergleichen Sie unten eine schlechte Wahl von φ (konstant, ignoriert die Laufzeit) mit der guten Potenzgesetz-Form. Ziehen Sie den Slider im linken Panel und beobachten Sie den Verletzungsindikator.

Konstantes phi = 3.0Keine Verletzungen

phi3.0

Ein konstantes phi ignoriert die Laufzeit. Der Smile bleibt an jedem Verfall gleich steil, wodurch die Gesamtvarianz bei manchen Strikes mit zunehmender Laufzeit abnehmen kann.

Potenzgesetz-phi(theta)Keine Verletzungen

Das Potenzgesetz-phi fällt mit wachsendem theta ab und flacht den Smile bei längeren Laufzeiten ab. Die Gesamtvarianz ist an jedem Strike monoton steigend in der Zeit – keine Kalender-Arbitrage.

Das konstante φ hält den Smile bei jedem Verfall gleich steil. Wenn θ wächst, treibt der steile Smile die Gesamtvarianz an den Flügeln für kurze Laufzeiten höher, als sie sein sollte, für lange Laufzeiten aber nicht hoch genug -- es entstehen Überschneidungen.

Das Potenzgesetz- φ fällt ab, wenn θ wächst, und flacht den Smile bei längeren Laufzeiten auf natürliche Weise ab. Dies garantiert, dass w(k, θ) monoton wachsend in θ für jedes k ist.

Abschnitt 4

Die Potenzgesetz-Form

Zwei Parameter steuern die gesamte Oberfläche. Das ist der Lohn für all die Einschränkungen, die SSVI auferlegt.

Potenzgesetz-Phi

φ(θ) = η / (θ^γ (1 + θ)^1−γ)

η > 0 steuert die Gesamtamplitude des Smiles. γ ∈ [0, 1] steuert, wie schnell der Smile mit der Laufzeit abflacht. Kalender-Arbitragefreiheit erfordert η(1 + |ρ|) < 2.

Bewegen Sie die Slider unten. Beobachten Sie, wie sich die Heatmap verändert -- die x-Achse ist die Log-Moneyness, die y-Achse der Verfall, und die Farbe zeigt die implizite Volatilität.

η0.50

γ0.50

ρ-0.30

SSVI-Oberfläche der impliziten Volatilität

Verfall (Jahre)

1.00.530.05

-0.800.8

Log-Moneyness (k)

IV

19%51%

η skaliert die Smile-Amplitude überall. Drehen Sie es auf, und die Flügel weiten sich über alle Verfallstermine. γ verändert, wie schnell der Smile mit der Laufzeit abflacht. Niedriges γ bedeutet, dass langlaufende Smiles steil bleiben; hohes γ lässt sie schnell abflachen.

Drei Parameter (ρ, η, γ) plus die beobachtete ATM-Varianzkurve θ(t). Das ist die gesamte Oberfläche. Vergleichen Sie das mit 25+ Parametern für fünf Slices bei Per-Slice-SVI.

So geht es weiter:

SSVI-Referenz -- die vollständige Formel, Fitting-Tipps und eine Vergleichstabelle

SVI-Parametrisierung -- das Per-Slice-Modell, das SSVI erweitert

Wie Oberflächen gebaut werden -- die Produktions-Pipeline