SSVI (Surface SVI)

SSVI von Grund auf lernenInteraktive Lektion · setzt SVI-Grundkenntnisse voraus

Info

SSVI ist eine Erweiterung von SVI auf Oberflächenebene. Beginnen Sie dort, falls Sie mit dem Per-Slice-Modell nicht vertraut sind. Die vollständige Pipeline zur Oberflächenkonstruktion finden Sie unter Wie Oberflächen erstellt werden.

SSVI (Surface SVI) erweitert das SVI-Smile-Modell von einzelnen Verfall-Slices auf die gesamte Volatilitätsoberfläche. Der entscheidende Vorteil: Die Freiheit von Kalenderarbitrage ist konstruktionsbedingt garantiert. Sie müssen niemals Slices unabhängig voneinander anpassen und anschließend Inkonsistenzen über Verfälle hinweg nachträglich korrigieren.

Das Problem, das SSVI löst

Bei Per-Slice-SVI passen Sie jeden Verfall unabhängig an. Jeder Slice mag für sich genommen konsistent sein (keine Butterfly-Arbitrage), aber die Slices können sich gegenseitig widersprechen. Konkret könnte die Gesamtvarianz bei einem bestimmten Strike von einem Verfall zum nächsten abnehmen, wodurch eine Kalenderarbitrage entsteht.

Dies nachträglich zu beheben (Post-hoc-Anpassung) ist fragil: Sie verschieben einen Slice, was die Anpassung verändert, was wiederum an anderer Stelle eine neue Verletzung erzeugen kann. SSVI vermeidet dies vollständig, indem es die Oberfläche gemeinsam modelliert.

Wie es funktioniert

SSVI beschreibt die Gesamtvarianz als Funktion sowohl der Log-Moneyness $k$ als auch der ATM-Gesamtvarianz $\theta_t$:

Die Erkenntnis: Anstatt 5 Parameter pro Slice anzupassen (25 Parameter für 5 Verfälle), parametrisiert SSVI die gesamte Oberfläche mit einer kleinen Anzahl globaler Parameter plus der ATM-Gesamtvarianzkurve $\theta_t$.

Die Rolle jedes Bausteins

$\theta_t$ (ATM-Gesamtvarianzkurve): Dies ist das Rückgrat der Laufzeitstruktur. Sie muss in $t$ ansteigend sein (eine grundlegende Arbitragefreiheitsanforderung). Sie beobachten sie direkt aus ATM-Optionspreisen.

$\rho$ (Skew): Ein einzelner Parameter, der die Neigung des Smiles steuert. Für alle Laufzeiten gemeinsam. Dies ist eine Vereinfachung: In der Realität kann sich der Skew mit der Laufzeit ändern, aber SSVI tauscht diese Flexibilität gegen kalenderfreie Garantien.

$\varphi(\theta_t)$ (Smile-Steilheitsfunktion): Steuert, wie breit der Smile bei jeder Laufzeit ist. Wenn $\theta_t$ wächst (längere Laufzeiten), flacht der Smile typischerweise ab. $\varphi$ kodiert diesen Abfall.

Übliche Wahl für $\varphi$

Die „Potenzgesetz"-Form ist Standard:

Der Kompromiss

SSVI hat weniger Freiheitsgrade als Per-Slice-SVI. Dies ist sowohl seine Stärke als auch seine Einschränkung.

	Per-Slice-SVI	SSVI
Parameter	5 pro Verfall (25 für 5 Slices)	3 global + ATM-Kurve
Kalenderarbitrage	Muss nach der Anpassung geprüft und behoben werden	Konstruktionsbedingt frei
Anpassungsqualität pro Slice	Ausgezeichnet (5 freie Parameter pro Slice)	Gut, aber eingeschränkt
Skew-Variation	Kann sich je Verfall unterscheiden	Einzelnes $\rho$ für alle Verfälle
Wann verwenden	Analyse einzelner Slices, spärliche Daten	Vollständige Oberfläche, produktives Pricing

Die größte Einschränkung: SSVI verwendet ein einzelnes $\rho$ für alle Laufzeiten. In der Praxis ist der kurzfristige Skew oft steiler als der langfristige Skew. SSVI behandelt dies teilweise durch $\varphi$ (das die Wing-Steilheit je Laufzeit steuert), kann aber nicht die gesamte Variation erfassen, die Per-Slice-SVI erfassen kann.

Für die meisten Krypto- und Aktienanwendungen ist dieser Kompromiss es wert. Die kalenderfreie Garantie eliminiert eine ganze Klasse von Oberflächenfehlern.

Wenn der Smile mit der Zeit abflacht

Term Structure

Backwardation: Kurzfristige IV > langfristige. Signalisiert Event-Risiko eingepreist.

Zwischen Formen umschalten um zu sehen wie sich Term Structure ändert. Backwardation signalisiert oft bevorstehendes Event.

SSVI erfasst auf natürliche Weise die Beobachtung, dass längerfristige Smiles flacher sind als kurzfristige Smiles. Die Funktion $\varphi(\theta_t)$ nimmt ab, wenn $\theta_t$ wächst, was bedeutet, dass die Smile-Breite mit der Laufzeit abnimmt. Dies entspricht dem Marktverhalten: Kurzfristige binäre Ereignisse erzeugen steile Smiles, aber langfristige Smiles mitteln über viele mögliche Szenarien und flachen ab.

SSVI anpassen

1. Extrahieren Sie die ATM-Varianzkurve $\theta_t$ aus Marktdaten. Dies ist einfach die ATM-IV bei jedem Verfall, quadriert und mit der Zeit multipliziert.
2. Passen Sie $\rho$, $\eta$, $\gamma$ an, indem Sie den gewichteten Fehler zwischen SSVI und beobachteten IVs über alle Strikes und Verfälle gleichzeitig minimieren.
3. Erzwingen Sie Nebenbedingungen während der Optimierung: $\eta(1 + |\rho|) < 2$, $\gamma \in [0, 1]$, $\theta_t$ ansteigend.

Die Optimierung ist schnell (3 Parameter) und robust. Es sind keine nachträglichen Kalenderkorrekturen erforderlich.

SSVI vs. Per-Slice-SVI

Verwenden Sie Per-Slice-SVI, wenn:

• Sie sich nur um jeweils einen Verfall kümmern
• Sie maximale Anpassungsqualität pro Slice benötigen
• Sie spärliche Daten haben (wenige Verfälle) und Flexibilität wünschen
• Sie bereit sind, Kalenderarbitrage-Prüfungen manuell durchzuführen

Verwenden Sie SSVI, wenn:

• Sie die vollständige Oberfläche für produktives Pricing benötigen
• Freiheit von Kalenderarbitrage nicht verhandelbar ist
• Sie eine kompakte Darstellung wünschen (3 Parameter + ATM-Kurve)
• Sie über mehrere Verfälle gleichzeitig bepreisen

Open-Source-Implementierungen

Repo	Warum es sich lohnt, es anzusehen
SVI-Vol-Surface	SSVI-Oberflächenanpassung
QuantLib	SSVI im experimentellen Modul

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Siehe auch:

• SVI-Parametrisierung - Das Per-Slice-Modell
• ORC Wing (Jump-Wing) - Traderfreundliche SVI-Reparametrisierung
• Interpolationsmethoden - Alle Methoden im Vergleich
• Wie Oberflächen erstellt werden - Die vollständige Pipeline