Einfache & Basis-Modelle
Die Bausteine. Black-Scholes: konstante Volatilität, kein Smile. CEV fügt einen Parameter hinzu, um Skew zu erzeugen. Displaced Diffusion verschiebt die Preisachse, um negative Zinsen abzubilden. Zu einfach für das Smile-Fitting in der Produktion, aber jedes komplexe Modell erweitert eines dieser Modelle.
Jedes komplexe Modell erweitert ein einfaches
SABR benötigt CEV (sein Rückgrat). Heston benötigt Black-Scholes (seinen Spezialfall). Starten Sie hier.
Auf einen Blick
Was sie gemeinsam haben
Alle vier Modelle beschreiben einen einzelnen Diffusionsprozess für den Preis des Basiswerts. Keines von ihnen besitzt stochastische Volatilität, Sprünge oder eine zweite Zufallsquelle. Sie unterscheiden sich darin, welche Dynamik sie für den Preis annehmen.
Wie sie zueinander in Beziehung stehen
Black-Scholes ist die Basis: konstante Volatilität, lognormaler Preis, kein Smile. CEV verallgemeinert es, indem die Volatilität mit dem Preisniveau skaliert (Sigma mal S hoch Beta minus eins), was Skew erzeugt. Das ist das Rückgrat von SABR -- wenn SABR seine lokale Volatilitätskomponente setzt, verwendet es CEV. Displaced Diffusion geht einen anderen Weg: Es verschiebt die Preisachse (modelliert S + d statt S), was ebenfalls Skew erzeugt und den Umgang mit negativen Zinsen oder Preisen ermöglicht. Für kleine Verschiebungen verhält es sich ähnlich wie CEV. Bachelier ist die additive Variante von Black-Scholes: Die Preise folgen einer Normalverteilung statt einer Lognormalverteilung. Es erzeugt einen flachen Smile (in Normal-Vol-Termen) und lässt naturgemäß negative Preise zu, weshalb es zum Standard für Zinsoptionen wurde, als die Zinsen negativ wurden.
Modelle in diesem Abschnitt:
- Black-Scholes — Das Fundament
- CEV-Modell — Volatilität skaliert mit dem Preis
- Displaced Diffusion — Verschobene Lognormalverteilung
- Bachelier — Normale Dynamik, additive Volatilität