SANOS von Grund auf
1/5Parametrische Modelle haben einen Formbias
Jedes parametrische Modell — SVI, SABR, Polynom-Fits — beginnt mit der Wahl einer Formelfamilie. Diese Familie bestimmt, welche Formen möglich sind, bevor Sie eine einzige Marktquotierung ansehen.
SVI hat fünf Parameter. Das ergibt fünf Freiheitsgrade, um den Markt-Smile zu treffen. Für liquide, gut verhaltene Märkte reichen fünf meist aus. Der Smile ist glatt, ungefähr parabolisch, und SVI trifft ihn genau.
Aber Märkte verhalten sich nicht immer gutartig. Ein Ergebnisereignis, ein Protokoll-Exploit, eine regulatorische Schlagzeile — diese können lokale Ausbuchtungen in der impliziten Volatilität an bestimmten Strikes erzeugen. Eine Kurve mit fünf Parametern kann bei K=90 keine Beule bilden und dabei überall sonst flach bleiben. Sie müsste die gesamte Kurve verformen, um ein einziges lokales Merkmal abzubilden.
SANOS verfolgt den entgegengesetzten Ansatz. Statt eine Formelfamilie zu wählen, setzt es an jedem Knoten eines Gitters einen Wert und lässt die Daten entscheiden, welche Form die Oberfläche annimmt. Die einzigen Anforderungen: Sie muss glatt sein, sie muss arbitragefrei sein, und sie muss die beobachteten Bid/Ask-Quotierungen respektieren.
SVI ist wie das Anlegen eines biegsamen Kurvenlineals an eine Punktmenge — das Lineal kann sich krümmen, aber keinen Knick bilden. SANOS ist wie das Auflegen eines flexiblen Netzes über die Punkte, bei dem sich jeder Kreuzungspunkt unabhängig bewegen kann. Das Netz kann lokale Merkmale erfassen, die das Lineal nicht abbilden kann.
Das Gitter ersetzt die Formel
In SANOS wird die Volatilitätsoberfläche durch ein Gitter von Knoten definiert: ein Wert an jedem (Strike, Verfall)-Kreuzungspunkt. 9 Strikes und 5 Verfallstermine ergeben 45 freie Variablen. Skalieren Sie auf 20 Strikes und 5 Verfallstermine, sind es 100.
Jeder Knoten enthält einen Gesamtvarianzwert (oder äquivalent eine implizite Volatilität). Die Oberfläche zwischen den Knoten wird interpoliert. Der zentrale Unterschied zu parametrischen Modellen: Es gibt keine Formel, die diese Werte miteinander verknüpft. Jeder Knoten ist eine freie Variable, nur durch Arbitragefreiheit und Glattheit beschränkt.
Unten zeigt das Gitter die impliziten Vol-Werte über Strikes und Verfallstermine. Beachten Sie die lokale Beule nahe K=90, T=0.25 — genau die Art von Merkmal, die ein parametrisches Modell übersehen würde. Das rechte Panel zeigt den Smile für einen ausgewählten Verfall, mit dem SVI-Best-Fit zum Vergleich überlagert.
Klicken Sie auf eine beliebige Zelle, um deren Vol anzupassen. Beobachten Sie, wie der SANOS-Smile (grün) von SVI (gelb gestrichelt) abweicht, wo immer das Gitter lokale Struktur erfasst. SVI muss global glatt bleiben; das Gitter kann den Daten Punkt für Punkt folgen.
SANOS: N_K × N_T nodes → local flexibility
Arbitragefreiheit als lineare Nebenbedingungen
Mit 100 freien Variablen brauchen Sie Leitplanken. SANOS erhält sie aus statischen Arbitragefreiheits-Bedingungen, ausgedrückt als lineare Ungleichungen auf den Gitterwerten.
Zwei zentrale Nebenbedingungen:
Kalender-Spread-Bedingung. Die Gesamtvarianz (w = σ^2 × T) muss für jeden Strike in T nicht-fallend sein. Würde sie fallen, könnten Sie eine kurzlaufende Option verkaufen und eine länger laufende zum selben Strike kaufen und einen risikolosen Gewinn erzielen. Auf dem Gitter bedeutet das: Jede Spalte muss von oben nach unten ansteigen.
Butterfly-Spread-Bedingung. Call-Preise müssen an jedem Verfall konvex im Strike sein. Äquivalent muss die zweite Differenz der Gesamtvarianz über benachbarte Strikes nicht-negativ sein. Das verhindert negative Wahrscheinlichkeitsdichte — eine physikalische Unmöglichkeit.
Beide Nebenbedingungen sind linear in den Gitterwerten. Kalender: w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) for T_2 > T_1. Butterfly: w(K-1, T) - 2·w(K, T) + w(K+1, T) ≥ 0. Keine nichtlinearen Terme, keine komplizierte Kopplung. Nur Ungleichungen, die Sie einem linearen Solver übergeben können.
Das ist der tiefere Vorteil der Arbeit im Gesamtvarianz-Raum auf einem Gitter: Die Arbitragefreiheits-Bedingungen, die in impliziter Vol nichtlinear wären, werden in der Gesamtvarianz linear. Das gesamte Problem der Oberflächenkonstruktion bleibt im Bereich der linearen Programmierung.
Lineare Programmierung findet die Antwort
Fügen Sie alle Teile zusammen: Knotenwerte als Unbekannte, Bid/Ask-Schranken als Box-Constraints, Arbitragefreiheit als lineare Ungleichungen, Glattheit als Zielfunktion. Das Ganze ist ein lineares Programm.
Ein LP hat eine entscheidende Eigenschaft: keine lokalen Minima. Der zulässige Bereich ist ein konvexes Polytop, und das Optimum liegt immer an einer Ecke. Anders als bei der SVI-Kalibrierung (die nichtlinear ist und je nach Initialisierung in lokalen Minima stecken bleiben kann) findet das LP stets das globale Optimum.
Die Bid/Ask-Quotierungen definieren Box-Constraints: An jedem beobachteten Strike muss die Gesamtvarianz zwischen den Bid- und Ask-implizierten Werten liegen. Je enger der Spread, desto kleiner die Box. Je weiter der Spread, desto mehr Freiheit hat SANOS, eine glatte, arbitragefreie Oberfläche zu finden.
Beobachten Sie, wie der zulässige Bereich (grün) schrumpft, wenn Nebenbedingungen hinzukommen. Positivität, Kalender, Butterfly und Bid/Ask — jede schneidet unmögliche Oberflächen weg. Die LP-Lösung (gelber Punkt) liegt an einer Ecke des finalen Polytops. Diese Ecke ist garantiert die glatteste arbitragefreie Oberfläche, die mit allen Daten konsistent ist.
subject to: bid_i ≤ w_i ≤ ask_i (data)
w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) (calendar)
w(K-1) - 2w(K) + w(K+1) ≥ 0 (butterfly)
Wann SANOS gewinnt und wann nicht
SANOS ist nicht generell besser als parametrische Modelle. Es hat einen spezifischen Sweet Spot, und zu wissen, wann man es einsetzt, ist wichtiger als zu wissen, wie es funktioniert.
SANOS gewinnt, wenn:
Spärliche Daten. Wenn Sie 5 Quotierungen haben und eine vollständige Oberfläche benötigen, tun sich parametrische Modelle schwer, weil nicht genug Punkte vorhanden sind, um die Parameter festzulegen. SANOS kann aus spärlichen Daten eine Oberfläche bauen, weil die Arbitragefreiheits-Bedingungen selbst Information liefern — sie schränken die zulässige Menge auch ohne Marktquotierungen ein.
Weite Bid/Ask-Spreads. Parametrische Fits an Mid-Preise können arbitragefreie Oberflächen erzeugen, die außerhalb des Bid/Ask liegen. SANOS behandelt den Spread als Merkmal, nicht als Rauschen. Je weiter der Spread, desto mehr Freiheit, eine glatte, arbitragefreie Oberfläche zu finden.
Lokale Merkmale. Ereignisgetriebene Vol-Beulen, Knicke durch konzentrierte Positionierung, verfallsspezifische Effekte. Jede Struktur, die eine Formel mit fünf Parametern nicht ausdrücken kann.
Vergrößern Sie den Spread-Regler und beobachten Sie, wie der SANOS-Fit (grün) vom Mid (orange gestrichelt) abweicht. Beide verlaufen durch die Bid/Ask-Balken, aber SANOS nutzt die zusätzliche Freiheit, um glatter zu bleiben. Bei engen Spreads konvergieren die beiden Fits.
SANOS verliert, wenn:
Keine dynamische Interpretation. SVI-Parameter (a, b, rho, m, sigma) haben ökonomische Bedeutungen: Gesamtvarianz, Skew-Stärke, Korrelation, Verschiebung. SANOS-Knoten sind nur Zahlen auf einem Gitter. Sie verlieren die Möglichkeit zu sagen "der Skew ist um 0.02 gestiegen" — Sie können nur sagen "diese 20 Knoten haben sich bewegt."
Speicherung und Kommunikation. Eine SVI-Oberfläche besteht aus 5 Zahlen pro Verfall — trivial speicher- und übertragbar. Eine SANOS-Oberfläche umfasst Hunderte von Knotenwerten. Für Datenbanken, Caches und Übertragungsprotokolle ist das relevant.
Bewährte Erfolgsbilanz. SVI wird seit über 20 Jahren eingesetzt. SANOS ist neuer. In Produktionssystemen, in denen Zuverlässigkeit und Team-Vertrautheit zählen, ist das ein echter Kostenfaktor.
Das praktische Muster: SANOS für Fitting und Preisberechnung verwenden (wo lokale Genauigkeit zählt), SVI für Speicherung und Kommunikation (wo Kompaktheit zählt). Sie ergänzen einander.
Nächste Schritte:
SVI-Parametrisierung — das parametrische Modell, das SANOS ergänzen soll
SABR-Modell — ein stochastisches Vol-Modell mit dynamischer Interpretation
Lokale Vol von Grund auf — wie die lokale Vol-Oberfläche aus der impliziten Vol extrahiert wird
Interpolationsmethoden — alle Methoden im Vergleich