SABR von Grund auf
1/5SABR gibt der Vol einen eigenen Prozess
In Black-Scholes ist die Volatilität eine Konstante. In der realen Welt bewegt sich die Vol — und zwar mit dem Spot. SABR erfasst beide Tatsachen.
Das SABR-Modell ist ein System aus zwei gekoppelten SDEs. Der Forward-Preis F und die stochastische Volatilität σ entwickeln sich gemeinsam:
dσ = α·σ·dW₂
corr(dW₁, dW₂) = ρ
Vier Parameter, jeder mit einer eigenen Marktbedeutung. α ist die Vol-of-Vol — sie steuert, wie stark die Volatilität selbst schwankt. β ist das Backbone — es bestimmt, ob sich der Prozess eher wie eine geometrische Brownsche Bewegung (β=1) oder eine arithmetische Brownsche Bewegung (β=0) verhält. ρ ist die Korrelation zwischen Spot- und Vol-Bewegungen — wenn der Spot fällt, steigt dann die Vol? (Bei Aktien/Krypto: ja, ρ < 0.)
Die zentrale Erkenntnis: Die Vol ist nicht nur unbekannt — sie ist zufällig und mit dem Basiswert korreliert. Diese eine Idee erzeugt realistische Smiles, ohne eine ganze Oberfläche an Parametern zu benötigen.
SABR entstand in der Zinswelt (Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, 2002). Jeder Swaption-Desk nutzt es zur Interpolation zwischen quotierten Strikes. Der Grund ist einfach: vier Parameter pro Verfall, jeder entspricht etwas Beobachtbarem, und man erhält eine analytische Formel für die implizite Vol. Kein Monte Carlo für den Smile nötig.
β steuert das Backbone
Der Exponent β bestimmt, wie die momentane Vol mit dem Niveau des Forwards skaliert. Er legt den Charakter des zugrunde liegenden Prozesses fest, noch bevor Vol-of-Vol oder Korrelation ins Spiel kommen.
β = 1 (lognormal): Prozentuale Bewegungen sind konstant groß. Steht BTC bei 60k, ist eine 1%-Bewegung $600. Steht BTC bei 30k, ist eine 1%-Bewegung $300. Die Dollar-Volatilität skaliert mit dem Preis. Das ist die klassische GBM-Annahme.
β = 0 (normal): Dollar-Bewegungen sind konstant groß. Ob der Zinssatz bei 2% oder 5% liegt, die tägliche Standardabweichung in Basispunkten ist dieselbe. Das ist an Zinsmärkten üblich.
β = 0.5 (CIR-artig): Ein Kompromiss. Die Vol skaliert mit der Quadratwurzel des Preises. Beliebt für Krypto und FX, wo keines der Extreme perfekt passt.
Verschieben Sie β unten und beobachten Sie die drei Referenz-Smiles. Bei β=1 ist der Smile in Log-Moneyness relativ symmetrisch. Bei β=0 ändert sich das Skew-Profil dramatisch. Das Backbone bestimmt, wie sich der Smile verschiebt, wenn sich der Spot bewegt — so ist β mit Sticky-Strike- vs. Sticky-Delta-Verhalten verknüpft.
In der Praxis wird β oft fixiert statt gefittet. Zins-Desks verwenden typischerweise β=0.5 oder β=0. Aktien- und Krypto-Desks verwenden oft β=1. Der Grund: β ist in einer Kalibrierung auf einen einzelnen Verfall schwer von ρ zu trennen. Das Fixieren von β, während die anderen drei Parameter den Smile absorbieren, ist gängige Praxis.
Hagans Approximation
Der Grund, warum SABR den Zinshandel eroberte: Hagan et al. leiteten eine geschlossene Approximation für die implizite Black-Scholes-Vol als Funktion des Strikes her. Kein PDE-Lösen, keine Simulation — nur eine Formel.
Die gestapelten Balken unten zerlegen die implizite Vol an jedem Strike in drei additive Beiträge. Die grüne Basis ist das ATM-Vol-Niveau (was Sie mit ρ=0 und ν=0 erhalten würden — reines CEV). Die orange Schicht ist die Skew-Korrektur erster Ordnung aus ρ. Die blaue Schicht ist die Konvexitätskorrektur aus ν (Vol-of-Vol).
Am Geld (ATM) sind Skew- und Konvexitätskorrekturen ungefähr null — die Basis dominiert. In den Flügeln wachsen die Korrekturen. Verstellen Sie die Regler, um zu sehen, wie jeder Parameter seine jeweilige Schicht steuert.
Beachten Sie, wie die orangefarbenen Skew-Balken das Vorzeichen wechseln: Sie sind auf der einen Seite positiv und auf der anderen negativ (wenn ρ ≠ 0). Die blauen Konvexitätsbalken sind in den Flügeln immer positiv und fügen sowohl tiefen Puts als auch tiefen Calls Prämie hinzu.
ρ und ν formen den Smile
Sobald β und α das Backbone und das gesamte Vol-Niveau festlegen, wird die Smile-Form von zwei Parametern gesteuert: ρ (Korrelation) neigt den Smile, und ν (Vol-of-Vol) krümmt ihn.
ρ ist der Skew-Regler. Wenn ρ < 0, gehen Spot-Rückgänge mit Vol-Anstiegen einher — Puts werden teurer als Calls. Wenn ρ > 0, das Gegenteil: Calls sind teurer. Bei ρ = 0 ist der Smile symmetrisch (bei β=1 oder in Log-Moneyness betrachtet).
ν ist der Krümmungs-Regler. Höhere Vol-of-Vol bedeutet, dass die Vol selbst volatiler ist, was beide Flügel teurer macht. Der Smile wird breiter, und die Kurtosis der Endverteilung steigt. Bei ν = 0 gibt es überhaupt keinen Smile — Sie sind zurück bei einem reinen CEV-Modell.
Die zwei Panels unten isolieren die einzelnen Effekte. Links: fixieren Sie ν, verschieben Sie ρ. Rechts: fixieren Sie ρ, verschieben Sie ν. Die gestrichelte Linie ist die Referenz (ρ=0 oder ν=0).
ν = 0.40: Moderate Vol-of-Vol: sichtbare Krümmung in den Flügeln.
Diese Trennung ist stark für die Intuition, aber in der Praxis unvollkommen. ρ und ν sind nicht vollständig orthogonal — ändert man den einen, verschiebt sich bei der Kalibrierung der optimale Wert des anderen. Aber das mentale Modell hält: ρ dreht den Smile, ν bläht ihn auf.
Kalibrierung und Fallstricke
SABR-Kalibrierung bedeutet, (α, ρ, ν) so zu finden, dass der Modell-Smile die beobachteten Markt-IVs trifft — wobei β typischerweise fixiert bleibt. Versuchen Sie unten, das Modell von Hand an synthetische Marktdaten anzupassen.
Die orangefarbenen Kreise sind "Markt"-IVs. Die grüne Kurve ist Ihr SABR-Modell. Die vertikalen Linien zeigen Residuen — die Lücke zwischen Modell und Markt an jedem Strike. Ziehen Sie die Regler, um den SSE (Summe der quadrierten Fehler) zu minimieren. Eine gute Kalibrierung bringt die Residuen überall nahe null, nicht nur am Geld (ATM).
Ein paar Dinge, die Praktiker schnell lernen:
Die Hagan-Approximation explodiert in den Flügeln. Für weit aus dem Geld (OTM) liegende Optionen (etwa 10-Delta-Puts auf eine 2Y-Swaption) kann die Hagan-Formel implizite Vols liefern, die negativ werden oder auf absurde Niveaus schießen. Das ist das berüchtigte Problem der "Flügel-Explosion". Lösungen sind u. a. die arbitragefreie SABR-Formulierung (Hagan-Lesniewski-Woodward 2014) oder exakte PDE-basierte Ansätze.
Negative Zinsen haben das Standardmodell gebrochen. Mit β > 0 muss der Forward F positiv sein. Als die Zinsen negativ wurden (EUR, JPY, CHF), wechselten die Desks zu Shifted SABR: Das Modell wird auf (F + Shift) angewendet, wobei der Shift den effektiven Forward positiv macht.
Für Krypto wird β üblicherweise auf 0.5 oder 1.0 fixiert. Krypto-Volatilitätsoberflächen haben extremen Skew und Fat Tails. β=1 (lognormal) ist die häufigste Wahl, da Krypto-Preise nicht negativ werden können. Manche Desks verwenden β=0.5 für einen besseren Fit in den Flügeln.
SABR gilt pro Verfall, es ist kein Oberflächenmodell. Jeder Verfall erhält seine eigene (α, ρ, ν)-Kalibrierung. Das Modell sagt nichts darüber aus, wie sich diese Parameter über die Verfälle hinweg entwickeln. Für Konsistenz der Laufzeitstruktur benötigen Sie zusätzliche Nebenbedingungen oder ein anderes Framework (wie SSVI oder Local-Stochastic-Vol).
Weiterführende Themen:
SVI-Parametrisierung — ein Oberflächenmodell mit Garantien gegen Kalender-Spread-Arbitrage
Lokale Volatilität — ein komplementärer Ansatz: deterministische Vol, die alle Vanillas exakt trifft
Interpolationsmethoden — alle Smile-/Oberflächenmethoden im Vergleich