SABR-Modell

Info

Diese Seite behandelt das SABR-Modell im Detail. Für den Kontext, wie es in die Pipeline der Volatilitätsoberfläche passt, siehe Wie Oberflächen aufgebaut werden. Für einen Vergleich mit anderen Methoden siehe Interpolationsmethoden.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) ist ein stochastisches Volatilitätsmodell, das von Hagan, Kumar, Lesniewski und Woodward (2002) eingeführt wurde. Anders als SVI, das die Form des Smiles beschreibt, beschreibt SABR die Dynamik, die ihn erzeugt. Der Smile ergibt sich aus dem Modell als Konsequenz daraus, wie sich die Volatilität gemeinsam mit dem Basiswert entwickelt.

SABR ist das dominierende Modell für Zinsswaptions und Caps/Floors. In Krypto ist es weniger verbreitet, wo SVI wegen seiner einfacheren Anpassung und seines besseren Verhaltens in den Flügeln bevorzugt wird.

Erkunden Sie die Parameter

Passen Sie jeden Parameter an, um zu sehen, wie sich der SABR-Smile verändert. Aktivieren Sie "Show backbone", um die reine CEV-Kurve zu sehen (wie der Smile ohne Vol-of-Vol aussieht).

SABR-Smile-Explorer

Typischer Smile von Zins-Swaptions. Moderater Skew, leichte Krümmung.

α (Vol-Niveau)0.30

Aktuelle Momentanvolatilität

β (Backbone)0.50

0 = normal, 0.5 = Wurzel, 1 = lognormal

ρ (Spot-Vol-Korr.)-0.30

Negativ = Put-Skew (üblich)

ν (Vol of Vol)0.40

Steuert die Smile-Breite. 0 = kein Smile.

Aktivieren Sie „Backbone anzeigen“, um die reine CEV-Kurve (ohne Vol-of-Vol) zu sehen. Der Abstand zwischen Backbone und vollem Smile ist der Beitrag von ν.

Was jeder Parameter bewirkt

• $\alpha$ (Vol-Niveau): Die aktuelle instantane Volatilität. Höheres $\alpha$ = höhere IV insgesamt. Dies ist der am häufigsten neu kalibrierte Parameter.
• $\beta$ (Backbone): Steuert, wie die Volatilität mit dem Preis des Basiswerts skaliert. $\beta = 1$ bedeutet, dass die prozentuale Vol konstant ist (lognormal). $\beta = 0$ bedeutet, dass die Dollar-Vol konstant ist (normal). $\beta = 0.5$ liegt dazwischen (Quadratwurzel). In der Praxis wird $\beta$ üblicherweise auf eine Marktkonvention fixiert, nicht gefittet.
• $\rho$ (Spot-Vol-Korrelation): Steuert den Skew. Negatives $\rho$ bedeutet, dass die Vol steigt, wenn der Basiswert fällt (das übliche Verhalten bei Aktien und Krypto). Positives $\rho$ bedeutet das Gegenteil (selten).
• $\nu$ (Vol of Vol): Steuert die Breite des Smiles. Wenn $\nu = 0$, gibt es keinen Smile, nur den Skew, den $\beta$ und $\rho$ erzeugen (das "Backbone"). Mit steigendem $\nu$ heben sich beide Flügel an.

Das Backbone

Klicken Sie im Explorer oben auf "Show backbone". Die gestrichelte Linie ist der Smile mit $\nu = 0$: keine Zufälligkeit in der Vol, nur das deterministische CEV-Modell. Die Lücke zwischen dem Backbone und dem vollständigen Smile ist der Beitrag von $\nu$ (Vol-of-Vol). Diese Zerlegung ist einzigartig für SABR und gibt Tradern eine klare Intuition dafür, woher die Krümmung des Smiles kommt.

Kalibrierung

Der Standardansatz

1. Fixieren Sie $\beta$ auf eine Marktkonvention:

   • Zinsen: $\beta = 0.5$ (üblich) oder $\beta = 0$ (normales SABR)
   • Aktien: $\beta = 1$ (lognormal)
   • Mit fixiertem $\beta$ hat das Modell 3 freie Parameter.

2. Verankern Sie $\alpha$ an der ATM-Vol. Es gibt eine nahezu geschlossene Beziehung zwischen $\alpha$ und der impliziten ATM-Volatilität. Lösen Sie bei gegebener beobachteter ATM-IV nach $\alpha$ auf. Dies reduziert den Fit auf 2 freie Parameter.

3. Fitten Sie $\rho$ und $\nu$, indem Sie den gewichteten Fehler zwischen dem SABR-Smile und den beobachteten IVs über die Ausübungspreise hinweg minimieren. Mit nur 2 Parametern ist dies schnell und robust.

Gewichtung

• ATM erhält das größte Gewicht (am liquidesten, am zuverlässigsten)
• Optionen mit engen Geld/Brief-Spreads erhalten mehr Gewicht
• Optionen tief aus dem Geld (OTM) erhalten weniger Gewicht (die Hagan-Approximation ist dort weniger genau)

Stärken

Dynamische Interpretation. SABR sagt Ihnen, wie sich der Smile bewegen sollte, wenn sich der Basiswert bewegt. Standardmäßig erzeugt SABR ein Sticky-Delta-ähnliches Verhalten: Wenn der Spot fällt, steigt die Vol (falls $\rho < 0$), und der Smile verschiebt sich mit dem Spot. Dies ist wertvoll für Produkte, bei denen die Smile-Dynamik für die Absicherung wichtig ist.

Backbone-Zerlegung. Die Trennung von Backbone ($\beta$-getriebener Skew) und Smile ($\nu$-getriebene Krümmung) gibt Tradern ein klares mentales Modell.

Sparsam. Mit fixiertem $\beta$ und an ATM verankertem $\alpha$ fitten Sie nur 2 Parameter. Das ist schnell und lässt wenig Raum für Overfitting.

Einschränkungen

Probleme in den Flügeln. Die Hagan-Approximation kann in den fernen Flügeln negative implizite Vol oder eine negative Wahrscheinlichkeitsdichte erzeugen. Dies ist ein bekanntes Problem. Produktionssysteme verwenden korrigierte Formulierungen (arbitragefreies SABR oder einen PDE-Solver für extreme Ausübungspreise).

Lange Laufzeiten. Die asymptotische Entwicklung verschlechtert sich bei Laufzeiten über 10-15 Jahre. Verwenden Sie stattdessen eine numerische Methode.

Statischer Fit, keine dynamische Kalibrierung. Trotz der dynamischen Interpretation von SABR wird in der Praxis jeder Verfall unabhängig gefittet (genau wie bei SVI). Die dynamische Erzählung ist eher aspirativ als operativ durchgesetzt.

SABR vs. SVI

	SABR	SVI
Was es modelliert	Dynamik, die den Smile erzeugt	Form des Smiles
Parameter	3 (mit fixiertem $\beta$)	5
Arbitrage	Hagan-Formel kann in den Flügeln verletzen	Saubere Nebenbedingungen verfügbar
Verhalten in den Flügeln	Kann bei extremen Ausübungspreisen zusammenbrechen	Begrenzt, lineare Asymptoten
Geschwindigkeit	Formelauswertung	Optimierung
Am besten für	Zinsen, FX	Aktien, Krypto

Der entscheidende Unterschied: SABR beantwortet die Frage "wie bewegt sich der Smile?", während SVI beantwortet "wie sieht der Smile aus?" Für die einfache Bepreisung europäischer Optionen und das Risikomanagement gewinnen üblicherweise die einfachere Anpassung und das bessere Flügelverhalten von SVI. Für Produkte, bei denen die Smile-Dynamik wichtig ist (Bermuda-Swaptions, Barrier-Optionen unter Sticky-Delta), ist die dynamische Interpretation von SABR wertvoll.

Verbindung zu SVI

SABR kann SVI-Fits initialisieren. Fitten Sie zuerst SABR (schnelle 2-Parameter-Optimierung), werten Sie den SABR-Smile an vielen Ausübungspreisen aus und fitten Sie dann SVI an diese Punkte. Dies gibt SVI einen guten Startpunkt, wenn die Marktdaten spärlich sind.

Mathematische Intuition aufbauen

SABR von Grund auf lernenInteraktive Lektion · 4 Parameter, 5 Abschnitte

Die interaktive Lektion oben geht die vier SABR-Parameter einzeln durch: wie Alpha das Vol-Niveau setzt, wie Rho den Skew neigt, wie Nu die Flügel anhebt und wie Beta die Backbone-Dynamik steuert. Jeder Abschnitt hat einen eigenen Schieberegler, sodass Sie die Wirkung eines einzelnen Parameters isolieren können.

Open-Source-Implementierungen

Repo	Warum es sich lohnt
QuantLib	SABR-Hagan-Approximation + Kalibrierung
pysabr	Reine Python-SABR-Implementierung, gut lesbar
OpenGamma Strata	SABR mit Smile-Interpolation im Produktions-Risikomanagement

---

Siehe auch:

• SVI-Parametrisierung - Das Modell, das Hypercall verwendet
• Lokale Volatilität - Dupires instantane Vol-Oberfläche
• Interpolationsmethoden - Alle Methoden im Vergleich
• Wie Oberflächen aufgebaut werden - Die vollständige Pipeline