Rough Bergomi von Grund auf
1/5Volatilität hat raue Pfade
Als Forscher untersuchten, wie sich realisierte Volatilität bei hoher Frequenz verhält, stießen sie auf etwas, das jedes klassische Modell bricht: Die Autokorrelation der Vol-Inkremente fällt nach einem Potenzgesetz ab, nicht exponentiell. Vol-Pfade sind weit zackiger, als man annahm.
In Heston, SABR oder jedem diffusionsbasierten Modell wird der Varianzprozess durch eine standardmäßige Brownsche Bewegung getrieben. Die BM hat einen Hurst-Exponenten von H = 0.5, was bedeutet, dass ihre Inkremente unkorreliert sind. Die resultierenden Pfade sind stetig, aber glatt genug, um sie in einem intuitiven Sinn "die meiste Zeit" differenzieren zu können.
Gatheral, Jaisson und Rosenbaum (2018) haben die realisierte Vol von Aktienindizes und Einzelaktien gemessen. Sie untersuchten, wie die Autokorrelation der Log-Volatilitäts-Inkremente mit dem Lag abnimmt. Das Ergebnis: Sie fällt als Potenzgesetz ab, γ(k) ∼ k2H−1, with H ≈ 0,1. Nicht H = 0,5. Nicht H = 0,3. H liegt nahe null.
Stellen Sie sich vor, Sie ziehen eine Linie mit einem Lineal, im Vergleich zum Kritzeln mit einem Stift, während Ihnen jemand gegen den Ellbogen stößt. Klassische Modelle verwenden das Lineal. Rough Vol sagt, dass das Gekritzel näher an der Realität ist. Der Stift ändert ständig die Richtung auf jeder Zeitskala, nicht nur mit der Frequenz eines mean-reverting OU-Prozesses.
Was bedeutet H ≈ 0,1 in der Praxis? Vol-Inkremente sind stark antikorreliert. Wenn die Vola in den letzten fünf Minuten gestiegen ist, ist es wahrscheinlicher, dass sie in den nächsten fünf Minuten fällt. Diese ständige Umkehr auf jeder Zeitskala lässt den Pfad rau erscheinen -- zackig und fraktal, wie eine Küstenlinie statt einer Autobahn.
Das ist keine Modellierungsentscheidung. Es ist eine empirische Tatsache, die über Aktien, Indizes, FX und Krypto hinweg beobachtet wird. Die Universalität von H ≈ 0,1 ist eine der bemerkenswertesten Erkenntnisse der modernen Finanzökonometrie.
Ziehen Sie den Schieberegler oben. Bei H = 0.5 ist die Autokorrelation bei allen Lags null -- standardmäßige BM, kein Gedächtnis. Wenn Sie H in Richtung 0.1 senken, wird die Autokorrelation stark negativ. Die Inkremente sind antikorreliert. Das ist Rauheit.
Was H steuert
H ist der Hurst-Exponent. Es ist die einzige Zahl, die bestimmt, wie rau oder glatt ein stochastischer Prozess aussieht. Alles in der Rough-Vol-Theorie ergibt sich daraus, dass H deutlich kleiner als 0.5 ist.
H = 0.5: Standard-Brownsche Bewegung. Dies verwendet Heston. Die Inkremente sind unkorreliert. Die Pfade sind stetig, aber nicht differenzierbar. Die "Standard"-Rauheit, die die klassische Finanztheorie annimmt.
H < 0.5: Rau. Die Inkremente sind antikorreliert. Je kleiner H, desto rauer der Pfad. Bei H = 0,1 sehen die Pfade aus, als wären sie von einem Erdbeben-Seismografen gezeichnet worden. Auf jede Aufwärtsbewegung folgt wahrscheinlich eine Abwärtsbewegung, auf jeder Zeitskala.
H → 0: Extrem rau. Im Grenzfall wird der Pfad so zackig, dass er kaum noch stetig ist. Für praktische Zwecke ist H ≈ 0,1 rau genug, um reale Märkte abzubilden.
H > 0.5: Glatt (persistent). Die Inkremente sind positiv korreliert. Die Pfade weisen Trends auf. Dieses Regime ist für die Volatilität nicht relevant, tritt aber in einigen Hydrologie- und Netzwerkverkehrsmodellen auf.
Das obere Feld zeigt drei Varianzpfade nebeneinander bei H = 0.1, 0.3 und 0.5. Der visuelle Unterschied ist dramatisch. Bei H = 0.5 mäandert der Pfad sanft. Bei H = 0.1 sieht er aus wie das Rauschen auf einem Fernsehbildschirm -- ständige Umkehrungen, zackige Spitzen.
Verwenden Sie den Schieberegler im unteren Feld, um H kontinuierlich durchzufahren. Beobachten Sie, wie sich der Pfad von glatt zu rau verwandelt, wenn Sie H senken. Dies ist kein Parameter eines bestimmten Modells -- es ist eine messbare Eigenschaft realer Volatilitätsdaten.
Das Rough-Bergomi-Modell
Bayer, Friz und Gatheral (2016) nahmen den empirischen Rough-Vol-Befund und bauten darum ein Bewertungsmodell. Der Varianzprozess wird durch eine fraktionelle Brownsche Bewegung statt durch die standardmäßige BM getrieben. Das Ergebnis ist elegant, sparsam und nicht-markovsch.
η (eta): Vol-of-Vol. Steuert, wie stark die Varianz von der Forward-Kurve abweicht. Höheres η = breiteres Smile.
WH(t): Fraktionale Brownsche Bewegung mit Hurst-Exponent H. Dies ist der rauhe Treiber.
−½η²t2H: Konvexitätskorrektur, die E[v(t)] = sicherstellt ξ₀(t). Das Modell wird automatisch an die Varianz-Laufzeitstruktur kalibriert.
Der Spot-Preis folgt der üblichen log-normalen Diffusion mit der momentanen Varianz v(t):
Zählen Sie die freien Parameter: H (Hurst-Exponent), η (Vol-of-Vol) und ρ (Spot-Vol-Korrelation). Das sind insgesamt drei Parameter, plus die Forward-Varianzkurve ξ₀(t), die aus dem Markt abgelesen wird. Verglichen mit den fünf freien Parametern von Heston. Das Modell ist sparsamer.
Der entscheidende Unterschied zu Heston: Dieses Modell ist nicht markowsch. Bei Heston hängt die Zukunft der Varianz nur vom aktuellen Varianzniveau ab. Bei Rough Bergomi hängt die Zukunft von der gesamten Historie des Pfades ab. Die fraktionale BM hat eine langreichweitige Abhängigkeit fest eingebaut. Man kann den Zustand nicht in einer einzigen Zahl zusammenfassen.
Schalten Sie oben zwischen Markov und Rough um. Zwei Varianzpfade erreichen zum Zeitpunkt "NOW" dasselbe Niveau, aber sie kamen auf unterschiedlichen Wegen dorthin. In Heston (Markov) sind ihre zukünftigen Verteilungen identisch -- das Modell hat kein Gedächtnis. In Rough Bergomi hat der Pfad, der stieg, einen anderen Zukunftskegel als der Pfad, der fiel. Die Geschichte ist in die Dynamik eingebacken.
Wenn Sie ein Vol-Trader sind und die realisierte 30-Tage-Vol bei 45% sehen, wollen Sie wissen: Ist sie dorthin gelangt, indem sie von 20% hochsprang (wahrscheinlich schnelle Rückkehr zum Mittelwert), oder indem sie sich langsam von 40% hocharbeitete (wahrscheinlich anhaltend)? Heston kann diese beiden Szenarien nicht unterscheiden. Rough Bergomi kann es. Die Pfadgeschichte enthält Informationen über die Zukunft.
Warum Rough Vol kurzlaufende Smiles erklärt
Die entscheidende Anwendung der Rough-Vol-Theorie: Sie sagt voraus, dass der ATM-Skew mit T skaliertH−0.5. Bei H = 0,1 bedeutet das, dass der Skew für kurze Laufzeiten explodiert -- genau das, was die Krypto- und Aktienmärkte zeigen.
Der ATM-Skew ist die Steigung der impliziten Volatilität als Funktion der Log-Moneyness, ausgewertet am Geld. Jedes stochastische Vol-Modell sagt eine bestimmte Beziehung zwischen diesem Skew und der Laufzeit T voraus:
H = 0.1 (rough): skew ∝ T−0.4. Der Skew explodiert, wenn T → 0. Stimmt mit realen Daten überein.
Dies ist die Pointe des gesamten Rough-Vol-Programms. Klassische Modelle sagen eine Skew-Laufzeitstruktur voraus, die am kurzen Ende zu flach ist. Sie können den 3-Monats-Skew treffen, kämpfen aber mit dem 1-Wochen- oder 1-Tages-Skew. Trader wissen seit Jahren, dass kurzlaufende Smiles steiler sind, als Heston vorhersagt. Rough Vol erklärt, warum: Die Rauheit des zugrunde liegenden Varianzprozesses steuert direkt, wie schnell der Skew wächst, wenn die Laufzeit schrumpft.
Das Diagramm oben zeigt die drei Regime auf einer logarithmischen Skala. Bei H = 0.1 (grün) ist die Skew-Kurve steil -- der kurzlaufende Skew ist viel größer als der langlaufende. Bei H = 0.5 (rot, Heston-artig) ist die Kurve nahezu flach. Die gelben Punkte sind empirische BTC-Daten, und sie folgen der H = 0.1-Kurve eng.
Das ist kein Zufall. Wenn Sie H aus den realisierten Vola-Daten von BTC messen, erhalten Sie H ≈ 0,1. Wenn Sie die aus BTC-Optionen implizierte Skew-Laufzeitstruktur betrachten, skaliert sie wie T−0.4. Die Theorie und die Daten stimmen überein.
Warum Heston hier falsch liegt: Hestons CIR-Varianzprozess wird von einer Standard-BM (H = 0,5) getrieben. Er kann keinen Skew-Zerfall nach einem Potenzgesetz mit einem Exponenten unter null erzeugen. Sie können Hestons Skew steil machen, indem Sie σ (Vol-of-Vol), aber das verletzt die Feller-Bedingung und erzeugt numerische Probleme. Rough Bergomi erreicht einen steilen Skew für kurze Laufzeiten auf natürliche Weise, ohne jede Parameterverrenkung.
Herausforderungen bei der Bewertung
Rough Bergomi ist theoretisch schön und empirisch fundiert. Aber es ist teuer im Einsatz. Keine geschlossenen Preisformeln, keine PDE, kein schneller Fourier-Trick. Nur Monte Carlo, und selbst das ist aufgrund der Nicht-Markov-Struktur langsam.
Keine geschlossene charakteristische Funktion. Hestons herausragendes Merkmal ist seine semi-analytische Bewertung über Fourier-Inversion. Rough Bergomi hat dies nicht. Der fraktionale BM-Treiber zerstört die affine Struktur, die Hestons charakteristische Funktion lösbar macht.
Nur Monte Carlo. Um eine Vanilla-Option unter Rough Bergomi zu bewerten, simulieren Sie Pfade des Varianzprozesses, berechnen die finalen Spotpreise und mitteln die Auszahlungen. Standard-Monte-Carlo-Konvergenz: 1/√N. Um einen auf 1 Basispunkt genauen Preis zu erhalten, benötigen Sie sehr viele Pfade.
Die Simulation von fBM ist teuer. Standard-BM ist Markov: Um den nächsten Schritt zu simulieren, benötigen Sie nur den aktuellen Wert. fBM ist nicht-Markov: Um den nächsten Schritt korrekt zu simulieren, benötigen Sie die gesamte Historie des Pfades. Eine naive Cholesky-Zerlegung kostet O(N²) pro Pfad im Speicher und O(N³) in der Zeit, wobei N die Anzahl der Zeitschritte ist. Das ist brutal für lange Pfade.
Hybride Schemata. Bayer, Friz und Gatheral schlugen ein hybrides Schema vor, das den fBM-Kernel in einen "nahen" Teil (exakt berechnet) und einen "fernen" Teil (mit einigen Basisfunktionen approximiert) aufteilt. Dies reduziert die Kosten auf etwa O(N · log N) pro Pfad, was die Kalibrierung durchführbar macht, aber immer noch nicht schnell genug für Echtzeit-Bewertung an einem Trading-Desk ist.
Keine PDE. Markov-Modelle wie Heston können über PDEs (finite Differenzen) bewertet werden. Das ermöglicht schnelle, gitterbasierte Bewertung. Nicht-Markov-Modelle haben keinen endlichdimensionalen Zustandsraum, sodass Sie keine PDE aufstellen können. Der "Fluch der Nicht-Markovianität" besteht darin, dass der Zustand unendlichdimensional ist (die gesamte Pfadhistorie).
Wo Rough Bergomi in der Praxis passt:
1. Forschungs- und Kalibrierungsstudien. Akademiker und Quant-Forscher verwenden es, um die Rough-Vol-Hypothese zu validieren und andere Modelle zu benchmarken. Wenn Ihr schnelles Modell (SVI, SABR) einen anderen Skew ergibt als Rough Bergomi vorhersagt, wissen Sie, dass etwas nicht stimmt.
2. Kalibrierung über Nacht. Einige Desks führen die Rough-Bergomi-Kalibrierung über Nacht als Diagnose durch. Sie sagt ihnen, ob ihrem schnellen Tagesmodell Skew-Dynamiken fehlen.
3. Intuition schärfen. Selbst wenn Sie das Modell nie live betreiben, verändert das Verständnis von Rough Vol, wie Sie über kurzlaufende Optionen denken. Wenn der 1-Tages-Skew steiler aussieht als Ihr Modell vorhersagt, sagt Ihnen Rough Vol, dass das normal ist -- es sind die rauen Varianzpfade des Marktes, die durchscheinen.
4. Neuronale-Netz-Proxies. Jüngste Arbeiten trainieren neuronale Netze, um Rough-Bergomi-Preise zu approximieren. Das Netz lernt die Abbildung von Parametern auf Preise offline (mit langsamem Monte Carlo) und wertet dann zur Laufzeit in Millisekunden aus. Dies könnte Rough Vol letztlich im Produktivbetrieb nutzbar machen.
Rough Bergomi liegt an der Schnittstelle von mathematischer Finanzwissenschaft und Ökonometrie. Es ist einer der seltenen Fälle, in denen eine Messung (H ≈ 0,1) direkt ein Modell diktierte. Die meisten Modelle werden zuerst erfunden und später angepasst. Rough Vol wurde zuerst in den Daten entdeckt und danach formalisiert. Diese empirische Fundierung ist der Grund, warum die Community es trotz der Rechenkosten ernst nimmt.
Wie es weitergeht:
Heston-Modell -- das Markov-Arbeitspferd der stochastischen Volatilität, mit Fourier-Bewertung
SVI-Parametrisierung -- der schnelle Standard für Smile-Fitting bei Krypto-Volatilitätsoberflächen
SABR-Modell -- stochastische Volatilität ohne Mean Reversion
Interpolationsmethoden -- alle Methoden zur Oberflächenkonstruktion im Vergleich