Put-Call-Parität von Grund auf
1/5Die Identität
Die Put-Call-Parität ist kein Modell. Sie ist keine Näherung. Sie ist eine Identität — eine mathematische Tatsache, die durch Arbitrage erzwungen wird.
S = Spot-Preis. K·e⁻ʳᵀ = Barwert des Strikes.
Die linke Seite ist die Differenz zwischen einem Call und einem Put mit gleichem Strike und Verfall. Die rechte Seite ist der Spot abzüglich des abgezinsten Strikes. Sie sind stets gleich. Weichen sie voneinander ab, verschenkt jemand kostenloses Geld.
Bewegen Sie die Schieberegler unten. Beobachten Sie beide Seiten. Sie stimmen immer überein — weil die Call- und Put-Preise aus derselben zugrunde liegenden Realität berechnet werden.
Egal, wie Sie Spot, Strike, Volatilität oder Zinsen verändern, die beiden Seiten bleiben fest verbunden. Das ist kein Zufall. Es ist eine Folge der Tatsache, dass Calls und Puts keine unabhängigen Instrumente sind — sie sind zwei Sichtweisen auf denselben Forward.
Warum sie gelten muss
Bilden Sie zwei Portfolios. Zeigen Sie, dass sie bei Verfall identische Auszahlungen haben. Wenn zwei Dinge in jedem Szenario gleich zahlen, kosten sie heute gleich viel.
Bei Verfall zahlen beide Portfolios max(S, K):
Wenn S > K: Portfolio A übt den Call aus und erhält den Basiswert im Wert von S. Das Bargeld (jetzt K) wird nicht benötigt. Gesamt: S. Portfolio B lässt den Put verfallen und hält den Basiswert im Wert von S. Gesamt: S.
Wenn S < K: Portfolio A lässt den Call verfallen und behält das Bargeld (jetzt K). Gesamt: K. Portfolio B übt den Put aus und verkauft den Basiswert zu K. Gesamt: K.
Gleiche Auszahlung in jedem Zustand der Welt. Gleiche Kosten heute. Das ist die Put-Call-Parität.
Die beiden Linien überlappen sich perfekt. Bewegen Sie den Strike — sie überlappen sich weiterhin. Schalten Sie „Einzelauszahlungen anzeigen“ um, um die Komponenten zu sehen. Call und Bargeld ergeben zusammen exakt Put und Basiswert.
Damit umwandeln
Kennen Sie beliebige vier von {C, P, S, K, r} sowie die Restlaufzeit. Die Parität liefert Ihnen die fünfte kostenlos.
Dies ist die praktischste Anwendung. Sie sehen einen Call-Preis und möchten den fairen Put kennen. Oder Sie sehen einen Put und möchten den impliziten Call herausrechnen. Stellen Sie die Identität um:
Wählen Sie, nach welcher Variablen aufgelöst werden soll. Geben Sie die anderen ein. Der Rechner erledigt den Rest.
Verletzungen erkennen
Wenn die Parität bricht, gibt es kostenloses Geld. Die Frage ist, ob die Verletzung groß genug ist, um die Transaktionskosten zu decken.
Die klassischen Arbitrage-Trades, die die Parität erzwingen, sind die Conversion und die Reversal.
Wenn C − P > S − PV(K): Calls sind überteuert. Führen Sie eine Conversion aus — verkaufen Sie den Call, kaufen Sie den Put, kaufen Sie den Basiswert, leihen Sie PV(K).
Wenn C − P < S − PV(K): Puts sind überteuert. Führen Sie eine Reversal aus — kaufen Sie den Call, verkaufen Sie den Put, verkaufen Sie den Basiswert, verleihen Sie PV(K).
Stellen Sie die Preise unten ein, um eine Verletzung zu erzeugen. Der Detektor zeigt Ihnen genau, welche Trades zu tätigen sind und den risikofreien Gewinn. Versuchen Sie, den Call-Preis relativ zum Put zu hoch anzusetzen.
In der Praxis ist die Arbitrage nicht kostenlos. Sie benötigen Margin für die Short-Option und den Basiswert. Ausführungsrisiko bedeutet, dass sich Preise zwischen den Legs bewegen können. Positionen über mehrere Handelsplätze fügen Kontrahentenrisiko hinzu. Die Verletzung muss alle Reibungsverluste zusammen übersteigen. Deshalb bestehen kleine Abweichungen fort — sie liegen innerhalb des Arbitragefreiheitsbands.
PCP in der Praxis
Krypto-Märkte zeigen manchmal Paritätsverletzungen, die bei Aktien in Sekunden wegarbitriert würden. Hier ist der Grund.
Funding Rates. Wenn das Perp-Funding extrem positiv ist (bullischer Markt), ist das Halten einer Short-Position im Basiswert teuer. Reversals kosten mehr. Dadurch können Puts mit einem relativen Aufschlag handeln, was scheinbare Paritätsverletzungen erzeugt, die reale Haltekosten widerspiegeln.
Fragmentierung über Handelsplätze. Optionen liegen auf Deribit. Spot liegt auf Binance, Bybit, OKX. Sie können nicht alle Legs einer Conversion atomar auf einem Handelsplatz ausführen. Die Legs liegen auf verschiedenen Börsen mit unterschiedlichen Margin-Systemen. Das erweitert das Arbitragefreiheitsband.
Margin-Kosten. Sowohl die Short-Option als auch die Position im Basiswert erfordern Margin. In einer Conversion gebundenes Kapital erzielt eine geringe Rendite, kann aber nicht anderweitig eingesetzt werden. Die Opportunitätskosten des Kapitals sind eine reale Reibung.
Settlement-Mechanik. Krypto-Optionen können im Basiswert (invers) oder in USD (linear) abgerechnet werden. Die Abrechnungsmethode ändert die Carry-Berechnung. Eine invers abgerechnete BTC-Option hat eine andere Ökonomie als eine lineare, selbst beim gleichen Strike.
Eine Verletzung von $0.50 bei einem $100-Strike sind 0,5 %. Das liegt innerhalb des normalen Bid-Ask-Spreads für Krypto-Optionen. Keine echte Verletzung.
Eine Verletzung von $5.00 bei einem $100-Strike sind 5 %. Das ist entweder ein veralteter Quote, ein Datenfehler oder eine echte Fehlbepreisung, die innerhalb von Minuten wegarbitriert wird. Bevor Sie es handeln, prüfen Sie, ob die Quotes auf beiden Seiten live sind.
Die Faustregel: Wenn die Verletzung kleiner ist als die Summe der Bid-Ask-Spreads aller drei Legs (Call, Put, Basiswert), ist sie Rauschen. Wenn sie größer ist, prüfen Sie Ihre Daten. Wenn die Daten stimmen, lässt jemand Geld liegen.
Wie es weitergeht:
Black-Scholes — das Bepreisungsmodell, das die Parität respektiert
Implizite Volatilität — beide Legs sollten dieselbe IV implizieren
Basis-Trades — wie die Basis den Forward und die Parität beeinflusst