Pfadabhängige Volatilität (PDV)
Jedes Modell auf dieser Seite geht davon aus, dass die Vol davon abhängt, wo der Preis jetzt steht -- vom aktuellen Niveau, vielleicht vom aktuellen Vol-Zustand. Die Pfadabhängige Volatilität (Guyon & Lekeufack, 2023) sagt, dass das nicht ausreicht. Die Vol hängt auch davon ab, wo der Preis gewesen ist. Ein Coin, der um 10 % abgestürzt und sich auf 100 verharrte. Der Crash-und-Erholung-Coin hat eine erhöhte implizite Vol, einen steileren Skew und breitere Flügel -- weil der Markt sich an den Crash erinnert.
Märkte haben ein Gedächtnis
Wenn BTC gerade einen Drawdown von 15 % hatte, bleibt die Vol erhöht, selbst nachdem sich der Preis erholt hat. PDV macht die Vol zu einer Funktion zweier Dinge: der jüngsten realisierten Vol und des jüngsten Preistrends. Das ist das gesamte Modell. Die Volatilitätsoberfläche verschiebt sich als Reaktion auf den Pfad, nicht nur auf den aktuellen Preis.
In Aktion erleben
Wechseln Sie zwischen einem Crash-Erholung-Pfad und einem flachen Pfad. Beide enden beim selben Preis, erzeugen aber unterschiedliche Vol-Smiles. Ziehen Sie am Gedächtnis-Schieberegler, um zu sehen, wie das Rückblickfenster den Effekt verändert.
Pfadabhängige Volatilität
Wechseln Sie zwischen den Szenarien, um zu sehen, wie derselbe aktuelle Preis je nach jüngstem Pfad unterschiedliche Smiles erzeugt. Ziehen Sie den Gedächtnis-Regler, um zu sehen, wie das Rückblickfenster den Effekt verändert.
Wie es funktioniert
1. Zwei Inputs aus dem Preispfad
PDV verdichtet die jüngste Preishistorie zu zwei Zahlen:
2. Die Vol ist eine Funktion dieser beiden Inputs
Das Modell sagt: Die implizite Vol bei einem beliebigen Ausübungspreis ist eine Funktion des aktuellen Spots plus dieser beiden Pfadzusammenfassungen. Keine stochastische Vol-Zustandsvariable, keine fraktionale Analysis, keine versteckte Markow-Kette. Nur: „Wo steht der Preis, wie stark hat er sich bewegt und in welche Richtung?"
3. Rough-Vol-Verhalten ohne Rough-Modelle
Dieser Aufbau reproduziert mehrere „schwierige" Phänomene:
- Vol-Clustering -- hohe Vol erzeugt hohe Vol, weil die jüngste realisierte Vol erhöht bleibt
- Leverage-Effekt -- Abwärtsbewegungen erhöhen die Vol stärker als Aufwärtsbewegungen, weil der Trend-Input die Funktion verzerrt. Erzeugt einen Skew, der mit den jüngsten Renditen variiert.
- Rough-Vol-artige Skalierung -- die scheinbare Rauheit der Vol-Pfade ergibt sich natürlich aus der Pfadabhängigkeit, ohne dass fraktionale Brownsche Bewegung nötig ist
- Gemeinsame SPX/VIX-Kalibrierung -- das Modell kalibriert gleichzeitig auf Index-Optionen und VIX-Optionen, was die meisten Modelle nicht können
Warum das für Krypto wichtig ist
Krypto-Märkte weisen eine extreme Pfadabhängigkeit auf. Nach einer Liquidationskaskade bleibt die Vol tagelang erhöht, selbst wenn sich der Preis erholt. Nach einem langen Anstieg komprimiert die Vol. PDV erfasst dies direkt. Traditionelle Modelle behandeln jedes 60k BTC gleich -- PDV behandelt „60k nach einem Crash von 70k" anders als „60k nach einer Rallye von 50k". Diese Unterscheidung ist wichtig für die Bepreisung und das Delta-Hedging.
PDV vs. andere Modelle
Stärken und Grenzen
Einfachstes pfadabhängiges Vol-Modell
PDV verwendet die jüngste realisierte Vol und den jüngsten Trend, um Smile-Dynamiken zu erklären, die stochastische Vol-Modelle verpassen. Reproduziert Rough Vol, Vol-Clustering und Leverage-Effekte ohne exotische Mathematik. Das Vega unter PDV unterscheidet sich von Black-Scholes, weil der Pfadzustand die Smile-Form verändert. Der Kompromiss: neu, erfordert Monte Carlo und hängt von der Wahl des Rückblickfensters ab.
Gleichungs-Explorer
Konvertieren Sie zwischen impliziter Vol, Gesamtvarianz, Log-Moneyness und Optionspreisen.
Gleichungs-Explorer
💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.
Siehe auch:
- SABR-Modell -- Klassische stochastische Vol ohne Pfadabhängigkeit
- Rough Bergomi -- Fraktionales Vol-Modell, das PDV approximieren kann
- Heston-Modell -- Mittelwertrückkehrende stochastische Vol (Markow, kein Pfadgedächtnis)
- Neural SDE / Deep Hedging -- Ein weiterer datengetriebener Ansatz zur Vol-Modellierung
- Vol-Regime -- Verständnis der Regime, die PDV natürlich erfasst