Merton Jump-Diffusion von Grund auf
1/5Black-Scholes kann keine Crashs abbilden
Black-Scholes nimmt an, dass sich der Preis kontinuierlich bewegt — Tick für Tick, kein Teleportieren erlaubt. Das passt in 99% der Fälle. Das übrige 1% ist es, was Ihnen zum Verhängnis wird.
Märkte gappen. Gewinnbekanntgaben, geopolitische Schocks, Protokoll-Exploits — der Preis springt augenblicklich von einem Niveau zum anderen, ohne etwas dazwischen. Ein Modell, das nur Diffusion kennt, kann diesen Ereignissen buchstäblich keine Wahrscheinlichkeit zuweisen.
Robert Mertons Lösung (1976): Behalten Sie die Diffusion, aber schrauben Sie eine zweite Quelle der Zufälligkeit an — einen Poisson-Prozess der zu zufälligen Zeitpunkten auslöst. Wenn er auslöst, springt der Preis um einen zufälligen Betrag, der aus einer Lognormalverteilung gezogen wird.
dN — Poisson-Zähler. Meist 0. Gelegentlich 1 (ein Sprung tritt auf).
J — Sprungmultiplikator. ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²). Bei J = 0.9 fällt der Preis sofort um 10%.
λ — durchschnittliche Anzahl von Sprüngen pro Jahr. k = E[J − 1] — Kompensator, damit die Drift sauber bleibt.
Unten sehen Sie drei simulierte Preispfade unter dem Merton-Modell. Meistens ist der Pfad glatte Diffusion. Dann erscheint eine vertikale Linie — das ist ein Sprung. Erhöhen Sie λ, um häufigere Sprünge zu sehen, oder machen Sie μJ negativer, um crashartiges Verhalten zu sehen.
Stellen Sie sich Diffusion wie das Durchqueren eines Raums vor. Sie machen kleine, kontinuierliche Schritte. Nun fügen Sie Falltüren im Boden hinzu. Die meisten Schritte sind normal. Aber gelegentlich fallen Sie durch eine Falltür und landen an einer unerwarteten Stelle. Das ist die Sprungkomponente.
Drei neue Parameter
Zusätzlich zum üblichen σ (Diffusionsvolatilität) fügt Merton drei Parameter hinzu, die zusammen die Form des impliziten Vol-Smiles steuern. Jeder erfüllt eine bestimmte Aufgabe.
λ (Lambda) — Sprunghäufigkeit. Wie viele Sprünge pro Jahr, im Durchschnitt. Ein höheres λ bedeutet häufigere Sprünge, was beide Flügel des Smiles anhebt. Bei λ = 0 sind Sie zurück in der Black-Scholes-Welt.
μJ (mu-J) — durchschnittliche Sprunggröße. Ist er negativ, gehen Sprünge überwiegend nach unten (Crashs). Das kippt den Smile — der linke Flügel (Puts) wird teurer als der rechte Flügel (Calls). Bei null sind Sprünge symmetrisch und der Smile ist grob symmetrisch.
σJ (sigma-J) — Volatilität der Sprunggröße. Wie variabel die Sprunggröße ist. Selbst wenn μJ = 0 ist, bedeutet ein hohes σJ, dass manche Sprünge riesig und manche winzig sind. Das erzeugt Exzess-Kurtosis — dickere Ränder (Fat Tails) als normal — was die Flügelkrümmung erhöht.
Spielen Sie mit den Reglern oben. Drei Experimente zum Ausprobieren:
1. Setzen Sie λ = 0. Der Smile wird flach — reines BS.
2. Setzen Sie λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05. Sie erhalten einen steilen Abwärts-Skew — der Markt erwartet Crashs eher als Rallys.
3. Setzen Sie μJ = 0, σJ = 0.30. Beide Flügel heben sich symmetrisch an — reine Fat Tails, kein Richtungs-Bias.
Die Bewertungsformel
Mertons Bepreisungsformel ist elegant: Der Optionspreis ist eine gewichtete Summe von Black-Scholes-Preisen, einer für jede mögliche Anzahl von Sprüngen. Wenn Sie Vanilla-BS-Calls bepreisen können, können Sie Merton bepreisen.
σn² = σ² + nσJ²/τ — jeder zusätzliche Sprung fügt mehr effektive Varianz hinzu.
Das Gewicht ist eine Poisson-Wahrscheinlichkeit — die Wahrscheinlichkeit von genau n Ereignissen in der Zeit τ.
In der Praxis genügen 10–15 Terme, da die Poisson-Gewichte schnell abklingen.
Die Visualisierung unten zerlegt den Merton-Preis in seine ersten sechs Terme. Das linke Panel zeigt Balken für jeden Term an Ihrem gewählten Strike. Das rechte Panel zeigt, wie sich die Terme über alle Strikes stapeln — Sie sehen, welche Terme am Geld gegenüber den Flügeln dominieren.
Wichtige Beobachtung: Der Term n=0 (null Sprünge) ist einfach der gewöhnliche Black-Scholes-Preis. Die höheren Terme fügen den Flügeln zunehmend mehr Wert hinzu, weil Sprünge die effektive Volatilität erhöhen und weit entfernte Strikes erreichbar machen.
Bewegen Sie den Strike-Regler in die Flügel (K=80 oder K=120). Beobachten Sie, wie die Terme mit höherem n proportional wichtiger werden. Am Geld dominiert n=0. In den Flügeln beginnen n=1 und n=2 ernsthafte Arbeit zu leisten — dort lebt die Sprungprämie.
Sprungrisiko ist nicht absicherbar
In Black-Scholes eliminiert Delta-Hedging jedes Risiko — Sie rebalancieren kontinuierlich, und das Diffusionsrisiko hebt sich auf. Mit Sprüngen bricht das zusammen. Der Sprung passiert augenblicklich; Sie können nicht schnell genug rebalancieren.
Überlegen Sie: Delta-Hedging funktioniert, indem Sie Ihre Position im Basiswert als Reaktion auf kleine Preisänderungen anpassen. Aber ein Sprung ist nicht klein — der Preis teleportiert. Bis Sie reagieren können, ist der Schaden (oder Glücksfall) bereits eingetreten. Ihr Hedge war für den Preis vor dem Sprung dimensioniert, nicht für den Preis danach.
Das bedeutet, der Merton-Markt ist unvollständig. Sie können nicht jede Auszahlung nur mit Basiswert und Anleihe replizieren. Sprungrisiko ist ein separater Risikofaktor, den der Markt bepreisen muss. Deshalb tragen Optionen in der realen Welt eine Prämie über das hinaus, was die BS-Delta-Hedging-Logik implizieren würde.
Klicken Sie ein paar Mal auf „Neu generieren“ und beobachten Sie das Muster. Im BS-Panel (links) wandert der kumulative PnL, bleibt aber relativ begrenzt — der Hedge tut seine Arbeit. Im Merton-Panel (rechts) sieht der PnL meist ähnlich aus, doch dann erscheint ein roter vertikaler Balken (ein Sprung) und der PnL macht einen Satz.
Die sprunginduzierten PnL-Schocks sind asymmetrisch, wenn μJ < 0: Abwärtssprünge schaden dem Hedger (der Short Gamma ist) mehr, als Aufwärtssprünge nutzen. Das ist der grundlegende Grund, warum Crash-Puts eine Prämie tragen — jemand muss dafür entschädigt werden, dieses nicht absicherbare Sprungrisiko zu tragen.
Merton vs. Heston vs. Realität
Merton glänzt bei kurzlaufenden Smiles. Heston glänzt bei langlaufenden Smiles. Die Realität braucht beides — weshalb das Bates-Modell (Heston + Sprünge) zum Arbeitspferd der Branche wurde.
Hier ist die entscheidende Unterscheidung:
Sprünge dominieren bei kurzen Laufzeiten. Eine 1-Wochen-Option ist zu kurz, als dass stochastische Volatilität sinnvoll „diffundieren“ könnte. Aber ein einziger Sprung kann immer noch einen weit entfernten Strike erreichen. Mertons Sprungkomponente ist der primäre Treiber der Preise kurzfristiger Flügel.
Stochastische Vol dominiert bei langen Laufzeiten. Über 6 Monate wandert die Vol selbst genug auf und ab, um von allein Fat Tails zu erzeugen. Sprungereignisse werden in der Mittelung „verwässert“ — ein Sprung in 252 Handelstagen zählt weniger als ein Sprung in 5 Handelstagen.
Langlaufende Flügel → Vol-of-Vol → Heston
Beides → Bates = Heston + Merton-Sprünge
Die praktische Konsequenz: Wenn Sie Merton an 1-Monats-Optionen kalibrieren und damit dann 1-Jahres-Optionen bepreisen, ist der langlaufende Smile zu flach. Die Sprungkomponente klingt mit √τ ab, aber der Markt-Smile bleibt bei langen Laufzeiten erhöht, weil die Vol selbst unsicher ist.
Umgekehrt unterbewertet Heston allein die kurzlaufenden Flügel. Der Vol-Prozess ist zu langsam, um die extreme kurzlaufende Kurtosis zu erzeugen, die der Markt verlangt. Dafür braucht man Sprünge.
Black-Scholes: flacher Smile. Kein Skew, keine Flügel. Der einfachste Vergleichsmaßstab.
Merton: Smile mit erhöhten Flügeln, besonders bei kurzen Laufzeiten. Skew, falls μJ < 0. Der Smile flacht mit der Laufzeit ab, da Sprünge verwässert werden.
Heston: Smile aus Vol-of-Vol. Der Smile bleibt bei langen Laufzeiten bestehen. Erzeugt Skew über die Vol-Spot-Korrelation (ρ).
Bates: Heston + Merton-Sprünge. Trifft die Laufzeitstruktur des Smiles von kurzen bis langen Laufzeiten. Die Standardwahl der Branche für Aktien und Krypto.
Wohin als Nächstes:
Heston-Modell — stochastische Vol, die andere Hälfte des Bildes
Bates-Modell — Heston + Sprünge: das Arbeitspferd der Branche
Kou-Sprungdiffusion — asymmetrische Sprünge mit doppelt-exponentiellen Rändern