Merton Jump-Diffusion
Black-Scholes geht davon aus, dass sich Preise gleichmäßig bewegen -- keine Lücken, keine plötzlichen Abstürze. Merton (1976) fügt Sprünge hinzu. Der Preis kann sich plötzlich nach oben oder unten teleportieren, statt nur zu diffundieren. Der Markt öffnet über Nacht mit einer Kurslücke. Ein Stablecoin verliert in einem einzigen Block seine Bindung.
Fette Ränder und steile kurzfristige Smiles folgen direkt daraus. Mehr Sprungrisiko = steilere Flügel auf der Volatilitätsoberfläche.
Warum Sprünge für Optionen wichtig sind
Eine Put-Option aus dem Geld (OTM), die in 2 Tagen verfällt, ist unter Black-Scholes nahezu wertlos -- die Zeit reicht nicht aus, damit Diffusion den Ausübungspreis erreicht. Wenn der Markt jedoch über Nacht um 15 % springen kann, hat diese Put-Option echten Wert. Sprungmodelle erfassen dies. Deshalb sind kurzfristige Smiles so steil.
Die Parameter erkunden
Beginnen Sie mit "Keine Sprünge", um flaches Black-Scholes zu sehen. Wechseln Sie dann zu "Crash-Risiko" und beobachten Sie, wie der Put-Flügel steiler wird.
Merton-Jump-Diffusion-Smile-Explorer
Beginnen Sie mit „Keine Sprünge“, um das flache Black-Scholes zu sehen, und wechseln Sie dann zu „Crash-Risiko“, um zu sehen, wie Sprünge den Skew erzeugen.
Was jeder Parameter bewirkt
- Lambda (Sprungintensität): Wie viele Sprünge Sie pro Jahr erwarten. Null = Black-Scholes. Eins = ungefähr ein crashartiges Ereignis pro Jahr. In Krypto kann dieser Wert bei 2-3 liegen.
- Mittlere Sprunggröße: Die durchschnittliche Richtung eines Sprungs. Negativ = Abstürze sind häufiger als Spitzen. Dies erzeugt den Put-Skew.
- Sprungvolatilität: Wie variabel jeder Sprung ist. Selbst wenn der mittlere Sprung null ist, erzeugt hohe Sprungvolatilität fette Ränder (beide Flügel heben sich).
- Basisvolatilität (Sigma): Die normale Diffusions-Volatilität zwischen den Sprüngen. Sie legt das Gesamtniveau fest.
Wie Sprünge den Smile formen
Der Sprung-Smile vs. der Stochastische-Vol-Smile
Merton und Heston (stochastische Volatilität) erzeugen beide Smiles, aber auf unterschiedliche Weise. Der Unterschied ist für das Trading relevant.
Kurzfristig vs. langfristig
Mertons Modell ist am nützlichsten für kurzfristige Optionen, bei denen das Sprungrisiko dominiert. Bei längeren Laufzeiten greift der zentrale Grenzwertsatz -- viele kleine Sprünge sehen wie Diffusion aus, und der Smile allein durch Sprünge verblasst. Stochastische Volatilität übernimmt am langen Ende der Laufzeitstruktur.
Merton in Krypto
Krypto ist wohl der Bereich, in dem Merton am wichtigsten ist. Die Märkte handeln rund um die Uhr, aber Liquiditätslücken sind häufig -- Börsenausfälle, Oracle-Fehler, plötzliche Liquidationskaskaden. Das sind Sprünge. Das ATM-Niveau ändert sich möglicherweise kaum, aber die Flügel werden dramatisch steiler.
Das einfachste Modell, das Gap-Risiko bepreist
Merton erklärt, warum kurzfristige OTM-Optionen teurer sind, als Black-Scholes vorhersagt. Wenn Sie Weeklys oder kurzfristige Krypto-Optionen handeln, ist das Sprungrisiko das, was Sie tatsächlich bepreisen. Delta-Hedging unterscheidet sich unter Merton von Black-Scholes, weil die Sprungkomponente nicht absicherbar ist -- nur der Diffusionsteil kann repliziert werden. Die Vega-Exposure ist strukturell höher.
Gleichungs-Explorer
Rechnen Sie zwischen impliziter Volatilität, Gesamtvarianz, Log-Moneyness und Optionspreisen um.
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💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.
Mathematische Intuition aufbauen
Merton-Sprünge von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötigDiese Lektion beginnt mit der einfachen Frage "Was wäre, wenn sich der Preis teleportieren könnte?" und baut dann die vollständige Intuition für Sprungintensität, Sprunggröße und die Frage auf, warum kurzfristige Flügel teuer werden.
Siehe auch:
- Black-Scholes -- Das Basismodell ohne Sprünge
- Heston-Modell -- Stochastische Volatilität (der andere Weg zu einem Smile)
- Variance Gamma -- Ein reines Sprungmodell ganz ohne Diffusion
- Skew -- Warum der Smile geneigt ist