Lokale Volatilität von Grund auf

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Abschnitt 1

Implizite Volatilität ist ein gemischter Durchschnitt

Die wichtigste Idee bei der lokalen Volatilität: Die implizite Volatilität, die Sie für einen bestimmten Ausübungspreis und Verfall beobachten, ist nicht die Volatilität an diesem Punkt. Sie ist ein pfadgewichteter Durchschnitt aller lokalen Volatilitäten entlang des Weges.

Stellen Sie es sich wie eine Autofahrt vor. Das Tempolimit ändert sich von Ort zu Ort (das sind die lokalen Volatilitäten). Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Fahrt ist Ihre implizite Volatilität. Zwei Fahrten, die am selben Ziel enden, können unterschiedliche Durchschnittsgeschwindigkeiten haben, weil sie durch verschiedene Orte führten.

Unten startet jeder Pfad bei S=100 und endet beim selben Endpreis. Aber jeder Pfad wandert durch verschiedene Preisregionen, jede mit ihrer eigenen lokalen Volatilität. Die implizite Volatilität ist der Durchschnitt über all diese Pfade.

Pfade zum selben Endpreis

Pfade: 0

Fügen Sie weitere Pfade hinzu und beobachten Sie, wie sich die durchschnittliche Volatilität stabilisiert. Jeder Pfad erlebt unterschiedliche lokale Volatilitäten, je nachdem, welche Preisniveaus er durchläuft. Die Hintergrundschattierung zeigt die Landschaft der lokalen Volatilität — heller bedeutet höhere Volatilität.

Abschnitt 2

Was ist lokale Volatilität?

Lokale Volatilität ist die momentane Volatilität an einem bestimmten Punkt aus (Preis, Zeit). Sie ist eine Landschaft: An jedem Spotpreis und in jedem Moment gibt es einen bestimmten Volatilitätswert.

Das Modell besagt: Wenn der Basiswert zum Zeitpunkt t beim Preis S liegt, beträgt die momentane Volatilität genau σ(S, t). Keine Zufälligkeit in der Volatilität selbst — sie ist eine deterministische Funktion davon, wo der Preis liegt und wann.

Fahren Sie unten über die Heatmap, um den lokalen Volatilitätswert an jedem Punkt zu sehen. Beachten Sie das Muster: höhere Volatilität bei niedrigen Spotpreisen (linke Seite), niedrigere Volatilität bei hohen Spotpreisen (rechte Seite). Diese Asymmetrie erzeugt den impliziten Volatilitäts-Skew.

Heatmap der lokalen Volatilität

10%

80%Zum Anzeigen der Werte mit der Maus darüberfahren

Analogie

Lokale Volatilität ist wie eine topografische Karte der Windgeschwindigkeit. An jedem (Breitengrad, Längengrad) gibt es eine bestimmte Windgeschwindigkeit. Ein Schiff, das von A nach B segelt, erlebt je nach Route unterschiedliche Winde. Die durchschnittliche Windgeschwindigkeit über die Reise ist wie die implizite Volatilität. Die Windgeschwindigkeit an jedem einzelnen Punkt ist die lokale Volatilität.

Abschnitt 3

Dupires Formel

Dupire zeigte, dass man die Oberfläche der lokalen Volatilität direkt aus beobachteten Optionspreisen extrahieren kann. Die Formel verwendet zwei partielle Ableitungen der Call-Preis-Funktion.

Dupires Formel

σ_loc²(K, T) = (∂C/∂T + rK·∂C/∂K) / (½K²·∂²C/∂K²)

∂C/∂T — wie sich der Call-Preis ändert, wenn der Verfall zunimmt. Misst den hinzugefügten Zeitwert.
∂²C/∂K² — die Krümmung der Call-Preise über die Ausübungspreise. Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte des Endpreises (der Butterfly Spread). Wenn dieser Term null ist, liegt eine Butterfly-Arbitrage vor und die lokale Volatilität ist undefiniert.

Das Gitter unten zeigt Black-Scholes-Call-Preise, berechnet mit einer geskewten impliziten Volatilitätsoberfläche. Klicken Sie auf eine beliebige innere Zelle, um sie auszuwählen. Wechseln Sie zwischen den beiden Ableitungsansichten, um zu sehen, welche benachbarten Zellen zum Zähler und Nenner beitragen.

Dupires Formel — Ableitungen visualisiert

T \ K	85	90	95	100	105	110	115
0.10y	15.60	11.06	7.30	5.36	2.28	0.81	0.26
0.25y	17.06	13.16	10.11	8.50	5.43	2.97	1.57
0.50y	19.57	16.19	13.57	12.06	9.70	6.42	4.22
0.75y	21.85	18.75	16.32	14.82	13.05	9.63	6.89
1.00y	23.93	21.00	18.68	17.15	15.63	12.64	9.52

Klicken Sie auf eine innere Zelle, um neu zu berechnen. Die blauen Zellen zeigen die benachbarten Verfallstermine für ∂C/∂T. Die orangefarbenen Zellen zeigen die benachbarten Strikes für ∂²C/∂K².

Dupire bei K=100, T=0.50

σ_loc² = (∂C/∂T + rK·∂C/∂K) / (½K²·∂²C/∂K²)

∂C/∂T = 12.6358 | ∂²C/∂K² = -0.033887

Der Zähler (∂C/∂T) misst, wie viel zusätzlichen Zeitwert der Markt für eine längere Laufzeit zuweist — das ist die Forward-Volatilitätsinformation. Der Nenner (∂²C/∂K²) ist die risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsdichte. Ihr Verhältnis isoliert die momentane Varianz an diesem Punkt aus (K, T).

Abschnitt 4

Vom Smile zur Oberfläche

Der implizite Volatilitäts-Smile — eine Kurve der IV über die Ausübungspreise — wird auf eine gesamte Oberfläche der lokalen Volatilität abgebildet. Eine Anpassung der Smile-Form verändert die Landschaft der lokalen Volatilität.

Verwenden Sie die Schieberegler unten, um den impliziten Volatilitäts-Smile zu ändern: sein Grundniveau, den Skew (Neigung) und die Krümmung (Konvexität). Das linke Panel zeigt den IV-Smile. Das rechte Panel zeigt die resultierende Heatmap der lokalen Volatilität, berechnet über Dupire.

Impliziter Vol-Smile → Lokale Vol-Oberfläche

IV-Smile (T=0.5y)

Heatmap der lokalen Vol

Basis-Vol30%

Skew-0.15

Krümmung0.10

Wichtige Dinge, die zu beachten sind:

Die lokale Volatilität ist immer extremer als die implizite Volatilität. Da die implizite Volatilität über Pfade mittelt, glättet sie die Spitzen und Täler der lokalen Volatilität. Erhöhen Sie die Krümmung und beobachten Sie, wie die Flügel der lokalen Volatilität viel ausgeprägter werden.

Das Hinzufügen von Skew verschiebt die lokale Volatilität asymmetrisch. Negativer Skew (typisch für Aktien-/Krypto-Märkte) erzeugt eine höhere lokale Volatilität auf der linken Seite (niedriger Spot) und eine niedrigere auf der rechten.

Abschnitt 5

Warum es für Exoten wichtig ist

Für Vanilla-Optionen genügt die implizite Volatilität. Für alles Pfadabhängige — Barrieren, Asiaten, Lookbacks — müssen Sie wissen, wo die Volatilität entlang des Pfades liegt, nicht nur der Enddurchschnitt.

Ein Down-and-Out-Call zahlt wie ein regulärer Call aus, es sei denn, der Preis berührt unterwegs eine Barriere. Die Wahrscheinlichkeit, die Barriere zu treffen, hängt von der Volatilität ab, die der Preis nahe dem Barriere-Niveau erlebt. Zwei verschiedene Oberflächen der lokalen Volatilität können denselben Vanilla-Call-Preis erzeugen, aber wild unterschiedliche Barriere-Preise.

Gleiche Vanillas, unterschiedliche Barrier-Preise

Oberfläche A — Symmetrischer Smile

Oberfläche B — Smile mit Skew

ATM-Vanilla-Call (K=100)

Oberfläche A$12.06

Oberfläche B$12.06

Down-and-Out-Call (K=100, B=85)

Oberfläche A$10.58

Oberfläche B$10.53

Beide Oberflächen liefern nahezu identische Preise für den ATM-Vanilla-Call. Die Barriere-Option — deren Wert davon abhängt, wo die Volatilität entlang des Pfads zur Barriere liegt — wird jedoch unterschiedlich bepreist. Die Oberfläche mit Skew konzentriert mehr Volatilität nahe der Barriere und verändert damit die Knock-out-Wahrscheinlichkeit.

Das ist das Kernargument für die lokale Volatilität: Sie macht Ihre Exoten-Preise konsistent mit den Vanillas. Jede Barriere- oder pfadabhängige Option, die unter lokaler Volatilität bepreist wird, widerspricht garantiert nicht den beobachteten Vanilla-Preisen. Sie erhalten ein einheitliches Modell anstelle von Ad-hoc-Anpassungen.

Der Vorbehalt: Lokale Volatilität sagt eine falsche Smile-Dynamik voraus (die Volatilität ist deterministisch und kann daher nicht überraschen). In der Praxis verwenden Desks stochastische lokale Volatilität (SLV) — lokale Volatilität für die Kalibrierungsgenauigkeit, plus eine stochastische Komponente für realistische Dynamik.

Wo es weitergeht:

SVI-Parametrisierung — das Modell, das zur Erstellung der impliziten Oberfläche verwendet wird, die in Dupire einfließt

SABR-Modell — eine stochastische Volatilitäts-Alternative mit besserer Dynamik

Interpolationsmethoden — alle Methoden im Vergleich