Lokale Volatilität

Info

Diese Seite behandelt das Dupire-Modell der lokalen Volatilität. Für den Kontext, wie es in die Pipeline der Volatilitätsoberfläche passt, siehe Wie Oberflächen erstellt werden. Für einen Vergleich mit anderen Methoden siehe Interpolationsmethoden.

Lokale Volatilität ist die momentane Volatilität des Basiswerts auf einem bestimmten Preisniveau und zu einem bestimmten Zeitpunkt. Es ist die Funktion $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$, die, wenn sie in ein Diffusionsmodell eingesetzt wird, alle beobachteten Preise europäischer Optionen exakt reproduziert.

Die Idee wurde unabhängig voneinander von Bruno Dupire (1994) und Derman & Kani (1994) entwickelt. Es ist das einzige Modell, das die vollständige implizite Volatilitätsoberfläche ohne zusätzliche Annahmen abbildet.

Implizite Vol vs. lokale Vol

Die zentrale Erkenntnis: Die implizite Vol ist ein gemischter Durchschnitt der lokalen Vols entlang des Pfades bis zum Verfall. Die lokale Vol ist die momentane, „punktweise" Volatilität.

Implizite Volatilität vs. lokale Volatilität

Typischer Aktien-/Krypto-Smile. Die lokale Volatilität ist höher und spitzer als die implizite.

Die lokale Volatilität (durchgezogen) ist immer spitzer als die implizite Volatilität (gestrichelt). Die implizite Volatilität ist ein gewichteter Durchschnitt der lokalen Volatilitäten entlang des Pfades.

Schalten Sie zwischen den Smile-Formen um und beachten Sie:

• Lokale Vol ist immer stärker ausgeprägt. Da die implizite Vol über den Pfad mittelt, glättet sie die Extreme. Die lokale Vol zeigt das rohe, ungemittelte Bild.
• Steilerer impliziter Skew = dramatischere lokale Vol. Im Fall eines steilen Skew (Krise) divergiert die lokale Vol im linken Flügel. Das Modell sagt hier: „Wenn der Spot so weit fällt, müsste die momentane Vol sehr hoch sein, um die beobachteten Put-Preise abzubilden."
• Die Beziehung ist wie Kassazinsen vs. Terminzinsen. Die implizite Vol ist der Kassazins (Durchschnitt von jetzt bis zur Fälligkeit). Die lokale Vol ist der Terminzins (der momentane Zins zu einem zukünftigen Zeitpunkt).

Was lokale Vol bedeutet

Stellen Sie sich vor, wie sich der Preis des Basiswerts durch eine Landschaft von Volatilitäten entwickelt. An jedem Punkt im (Preis, Zeit)-Raum gibt es eine bestimmte Volatilität. Während der Basiswert umherwandert, erlebt er verschiedene momentane Vols.

Eine 30-Tage-ATM-Option mit 50 % impliziter Vol könnte entlang ihres Pfades lokale Vols von 40 % bis 65 % durchlaufen. Die 50 % implizite Vol ist der risikoneutrale Durchschnitt über all diese lokalen Vols, gewichtet nach der Zeit, die auf jedem Niveau verbracht wird.

Deshalb können zwei Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen unterschiedliche implizite Vols haben, obwohl sie vom selben zugrunde liegenden Prozess abhängen: Sie durchlaufen verschiedene Teile der lokalen Vol-Landschaft.

Wann lokale Vol zu verwenden ist

Bewertung exotischer Optionen

Der primäre Anwendungsfall der lokalen Vol. Der Arbeitsablauf:

1. Beobachten Sie die Preise europäischer Optionen (oder implizite Vols) am Markt
2. Passen Sie eine arbitragefreie implizite Volatilitätsoberfläche an (mit SVI, SSVI oder ähnlichem)
3. Leiten Sie die lokale Volatilitätsoberfläche über Dupires Formel ab
4. Erstellen Sie eine numerische Bewertungs-Engine (Finite-Differenzen-PDE oder Monte Carlo) unter Verwendung der lokalen Volatilitätsoberfläche
5. Bewerten Sie das Exotische, indem Sie den Basiswert durch die lokale Vol-Landschaft entwickeln

Die Garantie: Jede exotische Option, die unter lokaler Vol bewertet wird, ist mit allen beobachteten Preisen europäischer Optionen konsistent. Ihr Barrier-Optionspreis widerspricht nicht den Vanillas, was für die Absicherung wichtig ist.

Oberflächenkonsistente Greeks

Greeks, die unter lokaler Vol berechnet werden, berücksichtigen die Tatsache, dass sich die Vol ändert, wenn sich der Spot bewegt. Das Delta unter lokaler Vol unterscheidet sich vom Black-Scholes-Delta, weil das Modell „weiß", dass ein Wechsel auf ein anderes Spot-Niveau bedeutet, eine andere lokale Vol zu erleben. Dies ähnelt konzeptionell dem, was Taleb „Shadow Gamma" nennt: die zusätzliche Delta-Änderung, die dadurch entsteht, dass sich die Vol ändert, weil sich der Spot bewegt hat.

Das Dynamik-Problem

Die lokale Vol hat eine bekannte Schwäche: Sie sagt die falsche Smile-Dynamik voraus.

Unter der lokalen Vol ist die Volatilität eine deterministische Funktion des Spots. Sobald Sie wissen, wo der Spot ist, wissen Sie genau, wie hoch die Vol ist. Es gibt keine „Überraschung" in der Vol. Das bedeutet:

• Wenn der Spot fällt, sagt die lokale Vol, die Vol wäre bei diesem Preis immer so hoch gewesen. Der Smile flacht ab.
• In der Praxis steigt die Vol, wenn der Spot fällt, oft stärker als von der lokalen Vol vorhergesagt, und der Smile versteilt sich.

Das Ergebnis: Die lokale Vol unterbewertet systematisch Optionen, die von der zukünftigen Smile-Form abhängen (Barrier-Optionen, Forward-Starting-Optionen, Cliquets).

Lokale Vol vs. andere Modelle

	Lokale Vol	SVI	SABR
Was es ist	Momentane Vol an jedem Punkt (S, t)	Parametrische Smile-Form	Stochastisches Vol-Modell
Beobachtbar?	Nein (abgeleitet)	Nein (angepasst)	Nein (angepasst)
Exakte Kalibrierung	Ja (per Konstruktion)	Näherungsweise	Näherungsweise
Smile-Dynamik	Falsch (deterministisch)	Nicht spezifiziert	Besser (stochastisch)
Bewertung exotischer Optionen	Ja (primäre Verwendung)	Nein	Begrenzt
Geschwindigkeit	Langsam (PDE/MC)	Schnell	Schnell (Formel)
Am besten geeignet für	Barriers, Asians, Exotics	Vanilla-Bewertung, Risiko	Swaptions, FX-Vanillas

Verbindung zu anderen Modellen

Implizite Vol zu lokaler Vol: Dupires Formel. Erfordert eine arbitragefreie implizite Oberfläche als Eingabe.

Lokale Vol zu impliziter Vol: Führen Sie eine Vorwärts-PDE unter der lokalen Volatilitätsoberfläche aus, bewerten Sie Europäer, invertieren Sie, um implizite Vols zu erhalten. Dies durchläuft per Konstruktion exakt einen vollständigen Zyklus.

SABR und lokale Vol: Der $\beta$-Parameter von SABR steuert das lokale Vol-Backbone ($\sigma_{\text{loc}} \sim F^\beta$), während $\nu$ eine stochastische Schicht darüber legt. SABR kann als parametrische Näherung an die lokale Vol mit zusätzlicher Dynamik betrachtet werden.

SVI und lokale Vol: SVI liefert Ihnen die implizite Oberfläche. Dupire liefert dann die lokale Vol. Die Kette: Marktnotierungen -> SVI-Anpassung -> implizite Oberfläche -> Dupire -> lokale Vol -> Exotic-Pricer.

Mathematische Intuition aufbauen

Lokale Volatilität von Grund auf lernenInteraktive Lektion · behandelt Dupires Formel

Die interaktive Lektion oben behandelt das Dupire-Modell der lokalen Volatilität von Grund auf: warum die implizite Vol ein pfadgewichteter Durchschnitt der lokalen Vols ist, wie Dupires Formel die lokale Vol aus beobachteten Preisen extrahiert, die Beziehung zwischen dem impliziten Vol-Smile und der lokalen Volatilitätsoberfläche und warum die lokale Vol für die Bewertung pfadabhängiger exotischer Optionen wichtig ist.

Open-Source-Implementierungen

Repo	Warum es sich lohnt, es anzusehen
QuantLib	Dupire lokale Vol mit FD-Bewertungs-Engine
OpenGamma Strata	Konstruktion der lokalen Volatilitätsoberfläche aus Marktdaten
RustQuant	Lokale Vol-Bewertung in Rust

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Siehe auch:

• SVI-Parametrisierung - Das Modell zur Erstellung der impliziten Oberfläche
• SABR-Modell - Eine stochastische Vol-Alternative
• Interpolationsmethoden - Alle Methoden im Vergleich
• Wie Oberflächen erstellt werden - Die vollständige Pipeline