Kou-Sprungdiffusion von Grund auf
1/5Mertons Sprünge sind zu symmetrisch
Merton verwendet lognormale Sprünge. Die Verteilung der Sprunggröße ist eine einzige Glockenkurve, irgendwo zentriert. Aufwärts- und Abwärtssprünge stammen aus derselben Familie. Das ist ein Problem.
Reale Crashs sind schärfer als Rallyes. Ein Stablecoin-Depeg sieht nicht aus wie das Spiegelbild eines Short Squeeze. Das -20%-Gap passiert in einem einzigen Block. Die +20%-Rally dauert eine Woche. Sie brauchen ein Modell, in dem der linke und der rechte Tail getrennt gesteuert werden.
Kou (2002) behebt dies, indem die lognormale Sprungverteilung durch eine doppelte Exponentialverteilung ersetzt wird. Aufwärtssprünge klingen mit einer Rate ab. Abwärtssprünge klingen mit einer anderen Rate ab. Zwei separate Stellschrauben für zwei separate Ausläufer.
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
Bei Kou: die Sprunggröße Y = ln(J) folgt einer doppelten Exponentialverteilung mit separaten Abklingraten für positive und negative Werte.
Die praktische Konsequenz: Bei Merton ziehen Sie, wenn Sie den linken Flügel des Smiles versteilern (indem Sie μJ negativer machen), auch den rechten Flügel mit. Die Normalverteilung ist symmetrisch um ihren Mittelwert. Kou entkoppelt die Flügel vollständig.
Die Doppelexponentielle
Die Sprunggröße Y hat eine Dichte aus zwei exponentiellen Hälften, die bei null zusammengefügt sind. Jede Hälfte fällt mit ihrer eigenen Rate ab. Das ist die zentrale Innovation.
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ steuert das Abklingen von Abwärtssprüngen. Ein kleines η₂ bedeutet, dass Abwärtssprünge groß sein können (dicker linker Ausläufer). Mittlerer Abwärtssprung = 1/η₂.
p ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gegebener Sprung aufwärts gerichtet ist.
Verschieben Sie die Parameter unten und beobachten Sie, wie sich die Dichte ändert. Das entscheidende Experiment: Setzen Sie η₁ deutlich größer als η₂. Der rechte Ausläufer (Aufwärtssprünge) wird dünn und nahe null konzentriert, während der linke Ausläufer (Abwärtssprünge) weit hinausreicht. Das ist die Form des Crash-Risikos.
Drei Experimente zum Ausprobieren:
1. Setzen Sie η₁ = η₂ = 5, p = 0.5. Die Dichte ist symmetrisch. Beide Ausläufer sind identisch. Das entspricht im Grunde Merton mit einem Sprung von Mittelwert null.
2. Setzen Sie η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3. Dicker linker Ausläufer, dünner rechter Ausläufer, die meisten Sprünge gehen nach unten. Klassisches Crash-Regime.
3. Drehen Sie p in Richtung 0,9. Die meisten Sprünge gehen nach oben, aber die Abwärtssprünge, die dennoch auftreten, werden weiterhin unabhängig von η₂ bestimmt.
Warum asymmetrische Sprünge wichtig sind
Das Verhältnis von η₁ zu η₂ und der Parameter p steuern gemeinsam den Skew des impliziten Vol-Smiles. Entscheidend ist, dass sie jede Flanke unabhängig steuern.
Betrachten Sie einen Krypto-Token. Ein Depeg-Crash ist scharf und tief — das bedeutet ein kleines η₂ (fette linke Flanke). Normale Aufwärtsbewegungen des Preises verlaufen schrittweise — das bedeutet ein großes η₁ (dünne rechte Flanke). Der resultierende Smile hat eine steile Put-Flanke und eine flache Call-Flanke. Genau das, was Sie am Markt sehen.
Beobachten Sie im Explorer unten, wie das alleinige Ändern von η₂ die linke Flanke versteilert, ohne die rechte Flanke zu bewegen. Versuchen Sie dann, η₁ zu ändern — es versteilert die rechte Flanke unabhängig davon. Das ist Kous praktischer Vorteil: Sie passen jede Flanke separat an den Markt an.
Warum p für den Skew wichtig ist: wenn p = 0.3 (die meisten Sprünge sind abwärts gerichtet), bläht sich die linke Flanke auf, weil OTM-Puts einem stetigen Strom von Abwärts-Sprungrisiko ausgesetzt sind. Die rechte Flanke ist ruhiger — dort landen weniger Sprünge.
Warum das Verhältnis η für den Skew wichtig ist: selbst bei p = 0.5 (gleiche Sprungwahrscheinlichkeit), wenn η₂ deutlich kleiner ist als η₁, sind die Abwärts-Sprünge im Durchschnitt viel größer. Das hebt die Put-Flanke an, weil dieselbe Anzahl von Abwärts-Sprüngen pro Sprung mehr Boden abdeckt.
Vorteil der geschlossenen Form
Die Exponentialverteilung hat eine besondere Eigenschaft: sie ist gedächtnislos. Wenn Sie wissen, dass ein Sprung eine Schranke x überschreitet, hat der Überschuss (Sprung − x) genau dieselbe Verteilung wie ein frischer Sprung. Das ist es, was Kou geschlossene Barrierepreise liefert.
Überlegen Sie, was eine Barriere-Option benötigt: Sie müssen die Verteilung kennen, wo der Preis landet nachdem er die Barriere überschreitet. Bei gaußschen Sprüngen (Merton) ist die Überschuss-Verteilung ein Durcheinander — sie hängt davon ab, wie weit Sie über die Barriere hinausgegangen sind. Bei exponentiellen Sprüngen ist der Überschuss gedächtnislos: Die bedingte Verteilung unter der Bedingung, dass Sie die Barriere überschritten haben, ist dieselbe wie die unbedingte Verteilung. Das macht die Mathematik handhabbar.
Das Ergebnis: Kou (2004) leitete geschlossene Lösungen für Knock-in/Knock-out-Barrieren, Lookback-Optionen und ewige Amerikaner her. Merton hat keine solchen Formeln. Wenn Sie Exoten bepreisen und analytische Greeks benötigen, gewinnt Kou.
Das linke Feld zeigt die volle Exponentialdichte mit einem markierten Schwellenwert x. Der schattierte Bereich ist die Wahrscheinlichkeit, x zu überschreiten. Das rechte Feld zeigt die bedingte Dichte des Überschusses (Y − x), given Y > x. Verschieben Sie den Schwellenwert: Die bedingte Dichte hat immer dieselbe Form wie das Original. Das ist die Gedächtnislosigkeit.
Bewegen Sie η und beachten Sie, dass sich beide Felder identisch neu skalieren. Die Form des Überschusses hängt nie davon ab, wo Sie den Schwellenwert setzen. Für die Barrierebewertung bedeutet dies, dass die Überschuss-Verteilung an der Barriere analytisch bekannt ist — keine Simulation nötig.
Kou vs Merton vs Heston
Jedes Modell hat eine Rolle. Zu verstehen, wo Kou relativ zu Merton und Heston passt, ist das letzte Puzzleteil.
Kou: asymmetrische Sprünge, unabhängige Flankensteuerung, geschlossene Exoten. Am besten geeignet für Märkte mit ausgeprägter Crash-Asymmetrie (Krypto, einzelne Aktienwerte) und wenn Sie analytische Barriere- oder Lookback-Preise benötigen.
Merton: einfacher, symmetrische Sprünge. Weniger Parameter. Gut genug, wenn der Smile ungefähr symmetrisch ist oder wenn Sie nur Vanillas bewerten. Der Ausgangspunkt der Branche für Sprungmodelle.
Heston: stochastische Vol, keine Sprünge. Erzeugt Skew über Vol-Spot-Korrelation (ρ). Dominiert bei langen Laufzeiten, wo Vol-of-Vol die Laufzeitstruktur antreibt. Kann die kurzfristige Flankensteilheit, die Sprünge erzeugen, nicht produzieren.
Das Diagramm oben überlagert Kou- und Merton-Smiles mit derselben gesamten Sprungvarianz. Beide Modelle fügen in Summe die gleiche Menge an Sprungrisiko hinzu, aber Kou weist mehr davon der linken Flanke zu. Beachten Sie, wie Kous linke Flanke fetter ist (steilere Put-Flanke), während ihre rechte Flanke dünner ist. Merton verteilt das Risiko gleichmäßiger.
Black-Scholes: flacher Smile. Kein Skew, keine Flanken.
Merton: Smile mit Flügeln. Symmetrische Sprungverteilung bedeutet, dass sich beide Flügel gemeinsam bewegen. Gut für kurzlaufende Vanillas.
Kou: Smile mit unabhängigen Flügeln. Asymmetrische Sprungverteilung. Geschlossene Formeln für Barriers und Lookbacks. Bessere Anpassung an Krypto.
Heston: Smile aus stochastischer Vol. Bleibt bei langen Laufzeiten bestehen. Keine Sprünge, daher sind kurzlaufende Flügel zu flach.
Bates: Heston + Merton-Sprünge. Das Arbeitspferd. Für die anspruchsvollsten Anwendungen ersetzen Sie die Merton-Sprungkomponente durch Kou-artige doppelt-exponentielle Sprünge.
Wie geht es weiter:
Merton-Sprungdiffusion — der Vorläufer mit symmetrischen Sprüngen
Variance Gamma — ein reines Sprungmodell ganz ohne Diffusion
Heston-Modell — stochastische Vol, keine Sprünge
Bates-Modell — Heston + Sprünge: das Arbeitspferd der Branche