Kou Doppelt-Exponentielles Jump-Diffusion-Modell

Merton modelliert Sprünge als eine einzige Normalverteilung -- Aufwärts- und Abwärtssprünge haben dieselbe Form. Falsch. Crashs sind schärfer als Rallys. Eine Kurslücke von -20 % passiert in Minuten; eine Rally von +20 % dauert Wochen. Kou (2002) behebt dies, indem Aufwärts- und Abwärtssprünge unterschiedliche Größen erhalten.

Der Mechanismus: Exponentialverteilungen statt Normalverteilung. Abwärtssprünge erhalten eine Exponentialverteilung (typischerweise mit größerem Mittelwert), Aufwärtssprünge eine andere (typischerweise mit kleinerem Mittelwert). Machen Sie den Put-Flügel steiler, ohne den Call-Flügel zu berühren, und umgekehrt.

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Jeder Flügel hat seinen eigenen Parameter

Bei Merton beeinflusst das Versteilern des Put-Flügels (über einen negativen mittleren Sprung) auch den Call-Flügel. Bei Kou ist jeder Flügel unabhängig. Die Abwärtssprunggröße versteilert den Put-Flügel. Die Aufwärtssprunggröße versteilert den Call-Flügel. Das entspricht den Smiles im Krypto-Markt.

Erkunden Sie die Parameter

Aktivieren Sie "Show Merton equiv", um zu sehen, wie sich ein symmetrisches (Merton-)Modell im Vergleich zu Kous asymmetrischen Flügeln verhält. Probieren Sie das Preset "Crypto crashes" aus, um den steilen Put-Flügel mit einem flachen Call-Flügel zu sehen.

Kou-Doppelexponential-Smile-Explorer

Abwärtssprünge dominieren: 70% der Sprünge gehen nach unten und sind 4x größer als Aufwärtssprünge. Steiler Put-Flügel.

Sprungfrequenz2.00

Erwartete Sprünge pro Jahr. 0 = flach (BS).

Wahrscheinlichkeit für Aufwärtssprung0.30

Anteil der Aufwärtssprünge. Niedrig = Crash-Neigung.

Größe des Aufwärtssprungs0.05

Durchschn. Größe des Aufwärtssprungs (z. B. 0.08 = 8%)

Größe des Abwärtssprungs0.20

Durchschn. Größe des Abwärtssprungs (z. B. 0.15 = 15%)

Aktivieren Sie „Merton-Äquiv. anzeigen“, um asymmetrische (Kou) mit symmetrischen (Merton) Sprüngen zu vergleichen. Beachten Sie, wie Kou einen Flügel unabhängig steiler machen kann.

Was jeder Parameter bewirkt

• Sprungfrequenz (Lambda): Wie viele Sprünge pro Jahr. Null = Black-Scholes (flacher Smile). Ein höheres Lambda hebt beide Flügel an, weil jeder Sprung -- nach oben oder unten -- OTM-Optionen wertvoller macht.
• Aufwärtssprung-Wahrscheinlichkeit (p): Welcher Anteil der Sprünge nach oben geht. Ein niedriges p bedeutet, dass die meisten Sprünge Crashs sind. Dies verschiebt das Gleichgewicht des Skews.
• Aufwärtssprunggröße: Durchschnittliche Größe von Aufwärts-Kurslücken. Größer = steilerer Call-Flügel.
• Abwärtssprunggröße: Durchschnittliche Größe von Abwärts-Kurslücken. Größer = steilerer Put-Flügel. Im Krypto-Bereich ist diese typischerweise 2-4x so groß wie die Aufwärtssprunggröße.

Wie Kou die Flügel formt

Parameteränderung

Effekt auf Put-Flügel

Effekt auf Call-Flügel

Intuition

Abwärtssprunggröße erhöhen

Wird steiler

Minimale Änderung

Größere Crashs = teurere Put-Absicherung

Aufwärtssprunggröße erhöhen

Minimale Änderung

Wird steiler

Größere Rallys = teurerer Call-Flügel

Aufwärtssprung-Wahrscheinlichkeit verringern

Wird steiler

Wird flacher

Mehr Sprünge gehen nach unten = Crash-Neigung

Sprungfrequenz erhöhen

Wird angehoben

Wird angehoben

Mehr Ereignisse insgesamt = mehr Tail-Risiko in beide Richtungen

ℹ️

Unabhängige Flügelkontrolle

Bei Merton beeinflusst das Versteilern des Put-Flügels über einen negativen mittleren Sprung auch den Call-Flügel (die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert). Bei Kou steuert die Abwärtssprunggröße den Put-Flügel und die Aufwärtssprunggröße den Call-Flügel. Aktivieren Sie "Show Merton equiv", um den Unterschied zu sehen.

Kou vs. Merton

Kou

Merton

Sprungverteilung

Doppelt exponentiell (asymmetrisch)

Normal (symmetrisch um den Mittelwert)

Flügelunabhängigkeit

Put- und Call-Flügel separat steuerbar

Änderung des Skews beeinflusst beide Flügel

Tail-Abfall

Exponentielle Ränder (schwerer als normal)

Gauß-Ränder (dünner)

Parameter

5 (σ, λ, p, η₁, η₂)

4 (σ, λ, μ_J, σ_J)

Barrier-/Lookback-Bepreisung

Geschlossene Form verfügbar

Keine geschlossene Form (erfordert MC)

Eignung für Krypto

Besser (asymmetrische Flügel entsprechen der Realität)

Ordentlich (aber Probleme mit der Flügelunabhängigkeit)

Warum Krypto-Trader sich dafür interessieren sollten

Das Gap-Risiko im Krypto-Markt ist stark asymmetrisch:

Ereignistyp

Typische Größe

Geschwindigkeit

Kou-Parameter

Liquidationskaskade

-10 % bis -30 %

Minuten

Abwärtssprunggröße (groß)

Kurslücke durch Börsenausfall

Beide Richtungen, -20 % bis +10 %

Sofort

Beide Sprunggrößen + Wahrscheinlichkeit

Rally nach ETF-Zulassung

+5 % bis +15 %

Stunden

Aufwärtssprunggröße (moderat)

Stablecoin-Depeg

-5 % bis -50 %

Blöcke

Abwärtssprunggröße (sehr groß)

Beachten Sie das Muster: Abwärtsbewegungen sind schneller und größer als Aufwärtsbewegungen. Merton kann diese Asymmetrie nicht sauber erfassen -- man kann den Mittelwert ins Negative verschieben, aber die Symmetrie der Normalverteilung um diesen Mittelwert schlägt weiterhin auf den Call-Flügel durch. Kous doppelte Exponentialverteilung trennt die beiden auf natürliche Weise.

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Das Sprungmodell für unabhängiges Flügel-Fitting

Kou trennt Put- und Call-Flügel. Die Abwärtssprunggröße ist der Crash-Parameter. Die Aufwärtssprunggröße ist der Rally-Parameter. Sie stören einander nicht. Wenn Sie OTM-Puts und -Calls als separate Bücher handeln -- und im Krypto-Bereich sollten Sie das --, dann entspricht Kou dieser Struktur.

Gleichungs-Explorer

Gleichungs-Explorer

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Implizite Vol (σ)

%

Die implizite Volatilität

Zeit bis zum Verfall

Tage

Kalendertage bis zum Verfall

Gesamtvarianz (w)

0.022225

Annualisierte Varianz (σ²)

0.2704

Zurückgerechnete IV

52.00%

Die Gesamtvarianz ist das, was SVI und andere Modelle fitten. Sie skaliert mit der Zeit: 50% Vol über 30 Tage hat weniger Gesamtvarianz als 50% Vol über 90 Tage.

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Testen Sie Ihr Verständnis bevor Sie fortfahren.

Q: Was ist der wesentliche Vorteil von Kou gegenüber Merton beim Fitting von Vol-Smiles?

Q: Warum sind exponentielle Ränder für Krypto-Sprunggrößen realistischer als Gauß-Ränder?

Q: Wenn Sie die Abwärtssprunggröße von 10 % auf 25 % erhöhen, was passiert mit dem Call-Flügel?

Q: Welchen praktischen Vorteil hat Kou gegenüber Merton bei der Bepreisung von Exoten?

💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.

Mathematische Intuition aufbauen

Kou von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötig

Diese Lektion erklärt das Modell als getrennte Sprungmotoren für Aufwärts- und Abwärtsbewegungen, führt dann durch die Intuition der doppelten Exponentialverteilung und zeigt, warum sie eine sauberere Flügelkontrolle als Merton ermöglicht.

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Siehe auch:

• Merton Jump-Diffusion -- Der Vorgänger mit symmetrischen Sprüngen
• Bates-Modell -- Kombiniert stochastische Volatilität mit Merton-Sprüngen
• Variance Gamma -- Ein reines Sprungmodell ohne Diffusion
• Heston-Modell -- Stochastische Volatilität (der andere Weg zu einem Smile)
• Skew -- Warum der Smile geneigt ist
• Black-Scholes -- Die Basislinie ohne Sprünge
• Interpolationsmethoden -- Alle Methoden im Vergleich