Sprung- & Fat-Tail-Modelle
Der Markt macht Gaps. Ein Protokoll-Exploit, eine überraschende Fed-Entscheidung, eine Liquidationskaskade. Stochastische Volatilitätsmodelle haben Schwierigkeiten mit plötzlichen Sprüngen. Sprungmodelle behandeln sie direkt: Der Preis teleportiert sich zu zufälligen Zeitpunkten auf ein neues Niveau.
Auf einen Blick
Was sie gemeinsam haben
Alle drei Modelle erklären Fat Tails und steile kurzfristige Smiles, indem sie dem Preis erlauben zu springen. Sie unterscheiden sich in der Sprungverteilung und darin, ob eine kontinuierliche Diffusionskomponente vorhanden ist.
Wie sie zueinander in Beziehung stehen
Merton ist das Original: Man nimmt Black-Scholes und fügt zufällige Sprünge hinzu, die aus einer Lognormalverteilung gezogen werden. Die Sprünge sind symmetrisch, sodass das Modell beide Tails gleichermaßen verdickt. Kou behebt dies, indem der lognormale Sprung durch eine doppelte Exponentialverteilung ersetzt wird, mit separaten Parametern für Aufwärts- und Abwärtssprünge -- Crashs können größer sein als Rallys. Variance Gamma geht einen anderen Weg: Es entfernt die Diffusion vollständig und modelliert Renditen als Brownsche Bewegung, die auf einer zufälligen Uhr läuft (einem Gamma-Prozess). Alle Bewegung stammt aus Sprüngen. Dies macht es zu einem reinen Sprungprozess, bei dem die Kurtosis- und Skew-Parameter die Form der Tails direkt steuern.
Modelle in diesem Abschnitt:
- Merton Jump-Diffusion — Das ursprüngliche Sprungmodell
- Kou Jump-Diffusion — Asymmetrische doppelt-exponentielle Sprünge
- Variance Gamma — Reiner Sprungprozess mit einer zufälligen Uhr