Interpolationsmethoden für Volatilitätsoberflächen

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Dies ist eine Begleitseite zu Wie Volatilitätsoberflächen aufgebaut werden. Beginnen Sie dort, um den Kontext zu verstehen, warum Interpolation wichtig ist.

Die Volatilitätsoberfläche hat Lücken. Interpolation füllt sie. Die Wahl der Methode bestimmt, ob die resultierende Oberfläche glatt, arbitragefrei und stabil ist. Diese Seite vergleicht die wichtigsten Ansätze.

Interpolationsmethoden im Vergleich

Die weißen Punkte sind die einzigen echten Marktkurse. Alles dazwischen ist geschätzt. Klicken Sie jede Methode um ihre Stärken und Schwächen zu sehen.

Was schiefgehen kann

Bevor wir uns die einzelnen Methoden ansehen, betrachten Sie die Probleme selbst. Dieselben 7 Marktbeobachtungen, drei verschiedene Interpolationsmethoden. Achten Sie darauf, was in den Flügeln und an den Datenpunkten passiert.

Was schiefgeht: Interpolationsfehler

Dieselben 7 Marktbeobachtungen, drei verschiedene Interpolationsmethoden. Achten Sie darauf, was in den Flügeln passiert.

Glatte Polynomkurven. Können in den Flügeln oszillieren und überschwingen.

Die weißen Punkte sind die einzigen echten Beobachtungen. Klicken Sie auf „Alle vergleichen“, um alle drei Methoden zu überlagern. Beachten Sie, wie der Spline im linken Flügel überschwingt, während SVI begrenzt bleibt.

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Nicht-parametrische Methoden

Diese Methoden legen Kurven durch Datenpunkte, ohne eine funktionale Form anzunehmen. Sie sind schnell und einfach, bieten aber keine strukturellen Garantien.

Lineare Interpolation

Ziehen Sie gerade Linien zwischen benachbarten Datenpunkten.

Vorteile:

• Trivial zu implementieren
• Kein Fitting oder Optimierung
• Deterministisch: gleiche Eingaben liefern immer gleiche Ausgaben

Nachteile:

• Erzeugt scharfe Ecken an jedem Datenpunkt. Diese Ecken führen zu unstetigen ersten Ableitungen, was bedeutet, dass die Greeks (insbesondere Gamma) an beobachteten Ausübungspreisen abrupt springen.
• Keine Garantie gegen Butterfly-Arbitrage. Eine gerade Linie zwischen zwei Punkten kann unter das Niveau fallen, das ein konvexer Smile aufweisen sollte.
• Extrapolation ist reine Spekulation (verlängert nur die Steigung des letzten Segments).

Verwenden Sie sie für: Schnelle Schätzungen, Plausibilitätsprüfungen, Debugging. Nicht für produktive Preisberechnung.

Interpolation mit kubischen Splines

Passen Sie stückweise kubische Polynome zwischen Datenpunkten an, mit der Nebenbedingung, dass die ersten und zweiten Ableitungen an jeder Verbindungsstelle übereinstimmen. Das Ergebnis ist eine $C^2$-glatte Kurve (stetige Krümmung).

Der Name stammt von physischen Zeichensplines: flexible Holzleisten, die Zeichner durch Stifte bogen, um glatte Kurven zu zeichnen.

Vorteile:

• Glatte Kurve durch alle Datenpunkte
• Keine Parameterschätzung (der Spline wird durch die Daten und Randbedingungen bestimmt)
• Schnell zu berechnen

Nachteile:

• Runges Phänomen: An den Rändern des Interpolationsbereichs kann das Polynom stark überschießen. Für Volatilitätsoberflächen bedeutet das IVs in den Flügeln, die in die Höhe schnellen oder negativ werden.
• Oszillation: Zwischen Datenpunkten kann die kubische Kurve über oder unter das schwingen, was ein gutartiger Smile ergeben würde, und dabei konkave Einbrüche erzeugen (Butterfly-Arbitrage).
• Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern: Ein fehlerhafter Datenpunkt (veraltete Quote, Fat Finger) verzerrt die gesamte Kurve, weil die Glattheitsbedingungen den Fehler weiterreichen.
• Keine Kontrolle über das Extrapolationsverhalten.

Verwenden Sie sie für: Visualisierung, akademische Arbeiten oder als Startwert vor dem parametrischen Fitting. Nicht für produktive Preisberechnung oder Risikomanagement.

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Parametrische Methoden

Diese Methoden nehmen eine funktionale Form für den Smile an und passen deren Parameter an die Daten an. Sie tauschen exakte Interpolation gegen strukturelle Kontrolle.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

Der Industriestandard für Volatilitätsoberflächen im Krypto- und Aktienbereich. Fünf Parameter pro Verfalls-Slice.

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

Siehe die vollständige Referenz: SVI-Parametrisierung

Warum es dominiert: SVI ist der optimale Kompromiss zwischen Flexibilität und Sparsamkeit. Fünf Parameter können nahezu jede beobachtete Smile-Form abbilden, während einfache Ungleichheitsbedingungen die Freiheit von Butterfly-Arbitrage garantieren. Die Flügel nähern sich linearen Asymptoten an, sodass die Extrapolation begrenzt und sinnvoll ist.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

Ein stochastisches Volatilitätsmodell, das den Smile aus Annahmen darüber ableitet, wie sich die Volatilität entwickelt. Vier Parameter: $\alpha$ (Volatilitätsniveau), $\beta$ (CEV-Exponent), $\rho$ (Spot-Vol-Korrelation), $\nu$ (Vol-of-Vol).

Siehe die vollständige Referenz: SABR-Modell

Warum es existiert: SABR erfasst die Dynamik des Smiles, nicht nur die statische Form. Es sagt Ihnen, wie sich der Smile bewegen sollte, wenn sich der Basiswert bewegt (standardmäßig Sticky Delta). Das macht es zur natürlichen Wahl für Zins-Swaptions, bei denen die Smile-Dynamik für die Absicherung wichtig ist.

Lokale Volatilität (Dupire)

Keine Fitting-Methode im üblichen Sinne. Lokale Volatilität leitet eine Oberfläche der momentanen Volatilität aus der beobachteten Oberfläche der impliziten Volatilität ab. Sie beantwortet die Frage: "Wie hoch muss die momentane Volatilität an jeder (Spot, Zeit)-Kombination sein, um diese Optionspreise exakt zu reproduzieren?"

Siehe die vollständige Referenz: Lokale Volatilität

Warum sie existiert: Lokale Volatilität ist das einzige arbitragefreie Modell, das alle beobachteten Optionspreise exakt trifft. Sie ist die Brücke zwischen impliziter Volatilität und einer Pricing-Engine, die pfadabhängige Auszahlungen verarbeiten kann.

SSVI (Surface SVI)

Eine Erweiterung von SVI, die die gesamte Oberfläche gemeinsam modelliert, nicht Slice für Slice. SSVI erzwingt Kalender-Arbitragefreiheit per Konstruktion: Die Gesamtvarianz nimmt bei jedem Ausübungspreis garantiert mit der Laufzeit zu.

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

Dabei ist $\theta_t$ die ATM-Gesamtvarianz zum Zeitpunkt $t$ und $\varphi(\theta_t)$ steuert, wie sich der Skew mit der Laufzeit entwickelt.

Kompromiss: Weniger freie Parameter als SVI pro Slice (die Smile-Form ist über Verfallstermine hinweg verknüpft), sodass die Anpassung an einzelnen Slices etwas schlechter ausfallen kann. Aber Sie benötigen nie nachträgliche Korrekturen für Kalender-Arbitrage.

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Vergleichstabelle

Methode

Parameter

Arbitragefrei?

Extrapolation

Geschwindigkeit

Am besten für

Linear

0

Nein

Unbegrenzt

Sofort

Debugging

Kubischer Spline

~12 (implizit)

Nein

Oszilliert

Schnell

Visualisierung

SVI

5 pro Slice

Ja (mit Nebenbedingungen)

Begrenzt linear

Schnell

Krypto / Aktien

SABR

4

Größtenteils

Angemessen

Mittel

Zinsen / Swaptions

Lokale Volatilität

Volles Gitter

Per Konstruktion

N/A (abgeleitet)

Langsam

Exoten-Pricing

SSVI

~6 (Oberfläche)

Ja (auch Kalender)

Begrenzt

Schnell

Konsistenz der gesamten Oberfläche

Wie Sie wählen sollten

• Für produktives Krypto-/Aktien-Pricing: SVI oder SSVI. Die Branche hat sich hier aus gutem Grund darauf verständigt.
• Für Zinsoptionen: SABR. Es erfasst die Smile-Dynamik, die für die Absicherung von Swaptions wichtig ist.
• Für die Bewertung exotischer Derivate: Lokale Volatilität (oder ein stochastisch-lokales Volatilitäts-Hybridmodell). Sie benötigen die gesamte Oberfläche, nicht nur einzelne Slices.
• Für schnelle Analysen oder Visualisierung: Kubische Splines sind in Ordnung, solange Sie nicht darauf handeln.
• Für nichts: Lineare Interpolation in der Produktion. Im Ernst.

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Gleichungs-Explorer

Alle Interpolationsmethoden arbeiten mit Gesamtvarianz und Log-Moneyness. Verwenden Sie diesen Rechner, um zwischen den Darstellungen umzurechnen.

Gleichungs-Explorer

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Implizite Vol (σ)

%

Die implizite Volatilität

Zeit bis zum Verfall

Tage

Kalendertage bis zum Verfall

Gesamtvarianz (w)

0.022225

Annualisierte Varianz (σ²)

0.2704

Zurückgerechnete IV

52.00%

Die Gesamtvarianz ist das, was SVI und andere Modelle fitten. Sie skaliert mit der Zeit: 50% Vol über 30 Tage hat weniger Gesamtvarianz als 50% Vol über 90 Tage.

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Siehe auch:

• Wie Volatilitätsoberflächen aufgebaut werden - Die vollständige Pipeline
• SVI-Parametrisierung - SVI im Detail
• SABR-Modell - SABR im Detail
• Lokale Volatilität - Dupire im Detail