Heston von Grund auf
1/5Die Varianz lebt
Black-Scholes behandelt die Volatilität wie eine feste Zahl, die auf den Kontrakt gestempelt ist. Sie ändert sich nie. So funktioniert die Welt offensichtlich nicht. Heston behebt das, indem er der Varianz eine eigene stochastische Differentialgleichung gibt.
In Black-Scholes folgt der Spot-Preis einer SDE mit einer konstanten σ. Jede Option, jeder Ausübungspreis, jeder Verfall verwendet dieselbe Volatilität. Das Modell ist intern konsistent, aber falsch: Der Markt quotiert eine andere σ für jeden Ausübungspreis. Das ist der Smile, und BS kann ihn nicht erzeugen.
Stellen Sie sich den Spotkurs als Auto und die Varianz als Straßenbelag vor. Bei BS ist die Straße überall perfekt glatter Asphalt. Bei Heston ändert sich der Belag selbst -- mal Schotter, mal Eis, mal frischer Asphalt. Das Auto reagiert auf den jeweiligen Untergrund. Je holpriger die Straße, desto unruhiger die Fahrt.
Heston besagt: Der Spot bewegt sich wie bei BS, aber mit einer variablen √v statt einer konstanten σ. Und die Varianz folgt ihrem eigenen mean-reverting Quadratwurzel-Prozess:
Zweite Zeile: Die Varianz hat ihre eigene Drift (gezogen in Richtung θ) und ihr eigenes Rauschen (skaliert mit σ).
Dritte Zeile: Die beiden Brownschen Bewegungen sind korreliert. Dies ist der Motor hinter dem Skew.
Diese zweite Gleichung ist ein CIR-Prozess (Cox-Ingersoll-Ross) -- derselbe Prozess, der für Zinssätze verwendet wird. Er hat eine eingebaute Untergrenze: der √v-Diffusionsterm schrumpft, wenn v sich null nähert, was verhindert, dass die Varianz negativ wird (unter den richtigen Bedingungen).
Das Ergebnis: Die Vol kann sprunghaft steigen, abklingen, sich häufen und sich mit dem Spot mitbewegen. All diese Muster sind an realen Märkten sichtbar. BS kann keines davon reproduzieren. Heston schon.
Die fünf Parameter
Heston hat genau fünf freie Parameter. Jeder erzählt eine eigene Geschichte über das Marktverhalten. Lernen Sie, sie wie ein Armaturenbrett zu lesen.
κ (kappa) -- Geschwindigkeit der Mean Reversion. Wie stark die Varianz auf ihr langfristiges Niveau zurückgezogen wird. Ein hohes κ bedeutet, dass Volatilitätsspitzen kurzlebig sind: Der Prozess schnellt schnell zurück. Ein niedriges κ bedeutet, dass Volatilitätsregime bestehen bleiben. Bei Kryptoκ ist tendenziell niedrig -- die Volatilität bleibt nach einem Schock erhöht.
θ (theta) -- langfristige Varianz. Das Niveau, auf das sich die Varianz im Laufe der Zeit zubewegt. Wenn Sie √θ nehmen, erhalten Sie ungefähr die langfristige ATM-Volatilität. Für BTC liegt diese typischerweise irgendwo bei 50-70% annualisiert.
σ (sigma) -- Vol-of-Vol. Wie unstet der Varianzprozess selbst ist. Wenn σ = 0 ist, gibt es überhaupt kein Smile -- Sie befinden sich wieder in einer Welt mit deterministischer Volatilität. Wenn σ steigt, heben sich beide Flügel des Smiles. Denken Sie daran so: mehr Zufälligkeit in der Varianz = fettere Tails = teurere OTM-Optionen.
ρ (rho) -- Spot-Vol-Korrelation. Die Richtungsverbindung zwischen Spot-Bewegungen und Volatilitätsbewegungen. Ein negatives ρ bedeutet Spot runter, Volatilität rauf. Dies ist der mit Abstand wichtigste Parameter für den Skew. Wir behandeln ihn ausführlich im nächsten Abschnitt.
v₀ -- Anfangsvarianz. Wo sich die Varianz gerade jetzt befindet. Wenn v₀ über θ liegt, preisen kurzlaufende Optionen den aktuellen Stress ein, während langlaufende Optionen zur Normalität zurücktendieren. Nach einer Volatilitätsspitze v₀ >θ und die Laufzeitstruktur invertiert.
Ziehen Sie die Schieberegler oben. Konzentrieren Sie sich auf einen Parameter nach dem anderen. Die wichtigste Erkenntnis: ρ kippt das Smile nach links oder rechts. σ verbreitert es. κ/θ/v₀ legen das Niveau und die Laufzeitstruktur fest.
Wie Korrelation den Skew erzeugt
Das ist die zentrale mathematische Erkenntnis von Heston. Ein negatives ρ bedeutet: Wenn der Spot fällt, steigt tendenziell die Varianz. Diese eine Beziehung erzeugt den gesamten linksschiefen Smile, den man an Aktien- und Kryptomärkten sieht.
Hier ist der Mechanismus, Schritt für Schritt:
1. Der Spot fällt (dW₁ ist negativ).
2. Weil ρ < 0, dW₂ ist tendenziell positiv.
3. Positives dW₂ treibt die Varianz nach oben.
4. Eine höhere Varianz bedeutet, dass der Basiswert nun volatiler ist.
5. OTM-Puts (niedrige Strikes) enden mit höherer Wahrscheinlichkeit im Geld.
6. Der Markt preist sie höher. Der linke Flügel des Smiles steigt.
Umgekehrt gilt es auch: Spot rauf, Vol runter. Optionen auf der Call-Seite verlieren einen Teil der Volatilitätsprämie. Deshalb ist der rechte Flügel typischerweise flacher als der linke.
Klicken Sie zwischen den drei Voreinstellungen oben. Der Unterschied ist dramatisch:
ρ = −0.7: Starker linker Skew. So sehen Aktien- und Krypto-Märkte aus. Absicherung nach unten ist teuer, weil die Volatilität ansteigt, wenn der Markt fällt.
ρ = 0: Symmetrischer Smile. Keine Richtungspräferenz zwischen Spot und Volatilität. Sie erhalten eine reine Krümmung aus dem Vol-of-Vol, aber keine Neigung.
ρ = +0.3: Rechter Skew. Optionen nach oben sind relativ teuer. Das ist in der Praxis selten, kann aber in Rohstoffmärkten auftreten, wo Angebotsschocks sowohl den Preis als auch die Unsicherheit gemeinsam nach oben treiben.
ρ bildet direkt auf Vanna-Exposure ab. Vanna ist die Sensitivität des Delta gegenüber Veränderungen der Volatilität. Wennρ stark negativ ist, haben OTM-Puts eine große positive Vanna: Ihr Delta wird negativer, wenn die Volatilität steigt. Deshalb werden Short-Put-Positionen in einem Sell-off gefährlicher – sie sind Short Vanna.
Die charakteristische Funktion
Die meisten Modelle mit stochastischer Vol erfordern Monte-Carlo-Simulationen für die Bewertung. Heston hat einen Trick: Optionen lassen sich per Fourier-Inversion einer bekannten charakteristischen Funktion bewerten. Keine Simulation nötig.
Die Standard-Black-Scholes-Formel für den Call-Preis hat die Form C = S·N(d₁) − K·e−rTN(d₂). Heston hat eine analoge Struktur:
Das zentrale Objekt ist die charakteristische Funktion φ(u). Sie kodiert alles über die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Log-Spot-Preises bei Verfall. Betrachten Sie sie als den Fingerabdruck der Verteilung im Frequenzraum.
Warum funktioniert das? Drei Schritte:
1. Momenterzeugende Funktion. Da die Heston-SDE affin ist (linear in den Zustandsvariablen), lässt sich ihre momenterzeugende Funktion in geschlossener Form lösen. Das ist der mathematische Zufall, der Heston besonders macht.
2. Charakteristische Funktion = MGF auf der imaginären Achse. Die charakteristische Funktion ist φ(u) = E[eiu·X] where X = ln(ST). Sobald Sie die MGF haben, haben Sie φ.
3. Invertieren für die Dichte, integrieren für den Preis. Die Standard-Fourier-Inversion gewinnt die risikoneutrale Dichte aus φ zurück. Wenn man diese Dichte gegen die Auszahlung integriert, erhält man den Optionspreis. Das Integral ist eindimensional und konvergiert in Mikrosekunden.
Das Ergebnis: ein vollständiger Smile, berechnet in Millisekunden statt Minuten. Das macht die Kalibrierung praktikabel. Sie können fünf Parameter an einen beobachteten Smile anpassen, indem Sie dieses Integral tausendfach in einem Optimierer auswerten.
Vor Heston (1993) existierten stochastische Volatilitätsmodelle, waren aber unpraktisch -- man musste Pfade simulieren, um eine einzige Option zu bepreisen. Hestons charakteristische Funktion machte stochastische Volatilität auf einem Trading-Desk nutzbar. Jedes Nachfolgemodell (Bates, Double Heston, Rough Bergomi) versucht, diese Fourier-Bepreisungsstruktur zu bewahren oder anzunähern.
Wo Heston an seine Grenzen stößt
Heston ist elegant, hat aber echte Grenzen. Der Varianzprozess kann null berühren, die Smile-Form ist für Krypto zu starr, und das Fitting-Problem mit fünf Parametern ist ein Minenfeld lokaler Optima.
Die Feller-Bedingung. Damit die Varianz strikt positiv bleibt, benötigen Sie:
In der Praxis verletzen gefittete Heston-Parameter häufig die Feller-Bedingung. Der Markt will mehr Vol-of-Vol (σ), als die Feller-Bedingung zulässt. Bei einer Verletzung kann der Varianzprozess null berühren und muss "reflektiert" oder "absorbiert" werden – was numerische Kopfschmerzen bereitet und das Modell in den Flügeln weniger vertrauenswürdig macht.
Erhöhen Sie σ und beobachten Sie, wie die Feller-Bedingung bricht. Rote Pfade erreichen null. In einer echten Pricing-Engine erfordern diese Nullberührungen eine Sonderbehandlung, die alles verlangsamt und subtile Fehler einführt.
Krypto-Smiles sind zu steil. Kurzlaufende Krypto-Optionen haben oft extrem steile Skews und breite Flügel. Hestons CIR-Varianzprozess ist zu glatt, um dies abzubilden. Das Flügelverhalten des Modells nähert sich einer konstanten Steigung, doch echte Krypto-Flügel sind steiler als das. Deshalb verwenden Krypto-Desks SVI oder SSVI für die Anpassung der Oberfläche und behandeln Sie Heston als konzeptionelles Werkzeug, nicht als produktive Fitting-Engine.
Die Anpassung mit fünf Parametern ist instabil. Unterschiedliche Parameterkombinationen können nahezu identische Smiles erzeugen. Der Optimierer hat mehrere lokale Minima. Tägliche Kalibrierungen können zwischen völlig unterschiedlichen Parametersätzen springen und dabei ähnliche Preise liefern. Das macht die Absicherung unzuverlässig, weil die Griechen davon abhängen, in welchem Parametersatz Sie gelandet sind.
Erweiterungen, die diese Probleme beheben:
Bates = Heston + Sprünge. Das Hinzufügen einer Sprungkomponente zum Spot-Prozess verschafft Ihnen dickere kurzfristige Flügel, ohne unangemessene σ Werte zu benötigen. Die Sprungintensität und -größe fügen zusätzliche Parameter hinzu, aber die charakteristische Funktion hat weiterhin eine halbgeschlossene Form.
Stochastische lokale Volatilität (SLV). Kombiniert Heston-artige stochastische Varianz mit einem Overlay lokaler Volatilität. Sie erhalten eine exakte Kalibrierung auf die beobachtete Oberfläche (aus der lokalen Volatilität) plus realistische Dynamik (aus der stochastischen Komponente). Das ist es, was viele produktive Desks tatsächlich einsetzen.
Rough Bergomi. Ersetzt den glatten CIR-Varianzprozess durch eine fraktionale Brownsche Bewegung (Hurst-Parameter H nahe 0,1). Die Varianzpfade werden rau und zackig und entsprechen dem beobachteten Volatilitätsverhalten viel besser. Der Preis: keine geschlossene charakteristische Funktion.
Nächste Schritte:
SVI-Parametrisierung -- der Standard für Smile-Fitting bei Krypto-Volatilitätsoberflächen
SABR-Modell -- stochastische Vol ohne Mean Reversion, einfacheres Fitting
Rough Bergomi -- fraktionale stochastische Vol, raue Pfade
Interpolationsmethoden -- alle Methoden im Vergleich