Displaced Diffusion von Grund auf
1/5Ursprung verschieben, Smile erhalten
Black-Scholes nimmt an, dass der Spot-Preis von seinem aktuellen Niveau aus lognormal diffundiert. Displaced Diffusion ändert eine Sache: Sie verschiebt den Ursprung. Die Diffusion ist weiterhin lognormal, aber die Achse, auf der sie lebt, hat sich verschoben.
Die SDE ist denkbar einfach:
Das ist das gesamte Modell. Ein zusätzlicher Parameter d, hinzugefügt zum Standard-BS. Der Diffusionskoeffizient ist proportional zu (S + d) statt nur zu S. Diese Verschiebung bricht die Symmetrie des lognormalen Smiles und erzeugt Skew.
Warum erzeugt das Verschieben des Ursprungs Skew? Weil die prozentuale Volatilität der verschobenen Variable σ beträgt, die prozentuale Volatilität von S selbst jedoch mit dem Niveau variiert. Wenn S niedrig ist, ist S + d relativ groß im Vergleich zu S, sodass die effektive Vol in Prozent höher ist. Wenn S hoch ist, spielt die Verschiebung d eine geringere Rolle und Sie nähern sich dem BS-Fall.
Stellen Sie sich vor, Sie messen von einem anderen Nullpunkt aus. Statt von 0 zu messen, messen Sie von −d. Der Basiswert hat sich nicht verändert, aber der Maßstab schon. Dieser Wechsel des Bezugssystems reicht aus, um einen geneigten Smile zu erzeugen.
Der Displacement-Parameter
Die Verschiebung d ist der einzige Regler, den Sie haben. Sie steuert Richtung und Ausmaß des Skews. Wer versteht, was sie bewirkt, versteht das ganze Modell.
d > 0 (positive Verschiebung): Der Ursprung verschiebt sich nach rechts. Für ein gegebenes σ sehen niedrige Preise eine höhere effektive Vol (weil S + d relativ zu S groß ist), während hohe Preise eine niedrigere sehen. Ergebnis: Die Kurve der impliziten Volatilität fällt von links nach rechts ab. Das ist negativer Skew -- dieselbe Richtung wie an Aktien- und Krypto-Märkten.
d < 0 (negative Verschiebung): Der Ursprung verschiebt sich nach links. Jetzt sehen hohe Preise proportional mehr Vol. Ergebnis: positiver Skew. Das ist selten, kann aber Märkte modellieren, in denen die Vol mit dem Preis steigt (z. B. manche Rohstoffe).
d = 0: Keine Verschiebung. Sie sind zurück bei Black-Scholes. Flacher Smile.
Ziehen Sie den Schieberegler oben. Beachten Sie, wie sich der Smile zunehmend neigt, wenn Sie d erhöhen. Der Displaced-Diffusion-Smile hat keine Krümmung -- er ist in den Flügeln nahezu linear. Das ist die grundlegende Einschränkung: DD kann Neigung erzeugen, aber nicht die U-Form, die man an realen Märkten sieht.
Displaced Diffusion = verschobenes Black-Scholes
Hier ist die praktische Erkenntnis, die DD so nützlich macht: Sie brauchen keine neue Bewertungsformel. Sie verwenden Standard-Black-Scholes mit verschobenen Eingaben. Ersetzen Sie S durch (S + d) und K durch (K + d). Fertig.
Die Logik ist unkompliziert. Definieren Sie S̃ = S + d. Dann wird die SDE zu dS̃ = σ·S̃·dW, was einfach eine geometrische Brownsche Bewegung für die verschobene Variable ist. Standard-BS gilt für S̃ mit Ausübungspreis K̃ = K + d.
Deshalb wurde DD in der Ära negativer Zinsen so schnell von Zins-Desks übernommen. Sie brauchten keine neue Software. Sie fügten ihren Eingaben einen Shift hinzu und ließen ihre gesamte Black-Scholes-Infrastruktur weiterlaufen. Der Shift wurde üblicherweise einmal täglich aus der ATM-Vol und einem zusätzlichen Punkt kalibriert.
Auch die Greeks verschieben sich. Delta ist das BS-Delta der verschobenen Option. Gamma ist das BS-Gamma. Vega ist das BS-Vega. Die einzige Feinheit: Sie müssen die Sensitivitäten bei der Berechnung von Hedges zurück in die ursprünglichen (unverschobenen) Koordinaten überführen.
Verbindung zu CEV und SABR
Displaced Diffusion ist die linearisierte Version des CEV-Modells. SABR mit β = 1 und einem Shift-Parameter ist näherungsweise Displaced Diffusion. Diese Verbindung zu verstehen zeigt Ihnen genau, wo DD in der Modellhierarchie steht.
CEV (Constant Elasticity of Variance) verwendet dS = σ·Sᵝ·dW wobei β die Elastizität ist. Wenn β = 1, ist es BS. Wenn β < 1, ist die Volatilität bei niedrigem S höher und bei hohem S niedriger -- dasselbe qualitative Verhalten wie DD.
Der Zusammenhang: Eine Taylor-Entwicklung erster Ordnung von Sᵝ um S = F ergibt näherungsweise (S + d) für ein bestimmtes d, das von β und F abhängt. DD ist also die linearisierte Näherung von CEV um den Forward. Sie erzeugen nahe ATM nahezu identische Smiles und weichen in den fernen Flügeln voneinander ab.
Beachten Sie, wie sich die beiden Kurven nahe ATM überlappen, aber in den Flügeln auseinanderlaufen. DD erzeugt einen Smile, der nahezu linear im Strike ist. CEV erzeugt Krümmung, weil sich das Potenzgesetz-Backbone biegt. Für die meisten praktischen Zwecke innerhalb weniger Strikes um ATM sind sie austauschbar.
SABR-Verbindung: Das SABR-Modell mit β = 1 ist lognormales SABR. Fügt man dem Forward einen Shift hinzu (Shifted SABR), erhält man SABR(β = 1) auf der verschobenen Variable. Im Grenzfall verschwindender Vol-of-Vol (ν = 0) kollabiert dies exakt zu Displaced Diffusion. DD ist also ein degenerierter Fall von Shifted SABR -- das einfachste Mitglied dieser Familie.
Deshalb gilt DD als der einfachste Weg, BS um Skew zu erweitern. Sie erhalten einen zusätzlichen Parameter, eine Neigungsrichtung und exakte Kompatibilität mit bestehender BS-Infrastruktur. Wenn Sie Krümmung, Flügel oder stochastische Dynamik benötigen, steigen Sie auf CEV, SABR oder Heston um.
Wann es genügt
DD ist eine Ein-Parameter-Erweiterung von Black-Scholes. Das ist zugleich seine Stärke und seine Grenze. Wissen Sie, wann Sie es einsetzen und wann Sie weitergehen sollten.
Verwenden Sie DD, wenn:
1. Sie eine schnelle Skew-Anpassung brauchen und kein vollständiges Modell benötigen. Etwa um einen groben Skew für ein Desk-Gespräch zu quotieren, ein komplexeres Modell auf Plausibilität zu prüfen oder ein Vanilla-Buch zu bepreisen, bei dem die Neigung wichtiger ist als die Flügel.
2. Ihr Basiswert auf null oder ins Negative fallen kann (Zinsen, Spreads). Die Verschiebung hält die verschobene Variable positiv, selbst wenn die ursprüngliche die Null kreuzt. Das ist der kanonische Anwendungsfall -- Zins-Desks lebten in der Ära negativer Zinsen vom Shifted Lognormal.
3. Sie die bestehende BS-Infrastruktur intakt halten wollen. Keine neuen numerischen Verfahren, kein Monte Carlo, keine Fourier-Inversion. Einfach die Eingaben verschieben.
Gehen Sie über DD hinaus, wenn:
1. Sie Smile-Krümmung benötigen. DD erzeugt einen nahezu linearen Skew. Reale Märkte haben U-förmige Smiles mit Konvexität in beiden Flügeln. Das kann DD nicht abbilden.
2. Sie dynamisches Smile-Verhalten benötigen. DD ist ein statisches Modell -- die Verschiebung ist fix. Es sagt nichts darüber aus, wie sich der Smile bewegt, wenn sich der Spot bewegt. Für dynamisches Hedging brauchen Sie SABR, Heston oder SLV.
3. Sie Exoten bepreisen. Pfadabhängige Optionen benötigen ein Modell, das die Dynamik der Vol beschreibt, nicht nur eine Momentaufnahme. DD hat keine Vol-Dynamik.
Speziell für Krypto ist DD zu einfach. Krypto-Smiles sind steil, gekrümmt und dynamisch. DD kann Ihnen eine grobe erste Neigung liefern, aber jede produktive Oberfläche verwendet SVI, SABR oder ein anspruchsvolleres Modell.
Stellen Sie sich die Modellhierarchie als Leiter vor: Black-Scholes (flacher Smile) → Displaced Diffusion (geneigter Smile) → CEV/SABR (gekrümmter Smile mit Dynamik) → Heston/SLV (stochastische Vol mit reicher Struktur). Jede Stufe fügt Komplexität, aber auch Erklärungskraft hinzu. DD ist die erste Sprosse über BS. Es lohnt sich, das Modell zu kennen, selbst wenn Sie es nie produktiv einsetzen, denn es lehrt Sie, dass es beim Skew im Kern darum geht, wie die Volatilität mit dem Niveau des Basiswerts skaliert.
Nächste Schritte:
CEV-Modell -- der nichtlineare Verwandte von DD, mit gekrümmten Smiles
SABR-Modell -- stochastische Vol auf einem Backbone, der Produktionsstandard
SVI-Parametrisierung -- direktes Smile-Fitting, der Krypto-Standard