Displaced Diffusion

Displaced Diffusion (auch verschobenes Lognormal-Modell genannt) nimmt Black-Scholes und verschiebt die Preisachse. Anstatt den Forward-Preis $F$ direkt zu modellieren, modellieren Sie $F + d$ als lognormalverteilt, wobei $d$ die Verschiebung (Displacement) ist. Dies erzeugt Skew ganz ohne stochastische Volatilität -- lediglich durch eine Koordinatenverschiebung.

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Eine Koordinatenverschiebung erzeugt Skew

Eine negative Verschiebung erlaubt dem Basiswert, unter null zu fallen (nützlich für Zinssätze). Eine positive Verschiebung verschiebt den Smile nach rechts. Die Verschiebung bricht die Symmetrie von Black-Scholes und erzeugt Skew. Das ATM-Niveau bleibt gleich; Optionen OTM werden neu bepreist.

Erkunden Sie die Parameter

Bewegen Sie den Verschiebungs-Slider, um zu sehen, wie das Verschieben der Preisachse Asymmetrie erzeugt. Der Vol-Slider steuert das Gesamtniveau. Die gestrichelte blaue Linie zeigt den unverschobenen Fall (Black-Scholes).

Displaced-Diffusion-Explorer

Verschiebung null. Rein lognormal – flacher Smile, kein Skew.

Vol-Niveau40%

Basisvolatilität des verschobenen Prozesses

Verschiebung (d)0

Negativ = erlaubt negative Preise, Positiv = nach rechts verschoben

Bewegen Sie den Verschiebungs-Regler, um zu sehen, wie das Verschieben der Preisachse Skew erzeugt. Die gestrichelte blaue Linie zeigt den unverschobenen Smile als Referenz.

Was jeder Parameter bewirkt

• Sigma (Vol-Niveau): Die implizite Volatilität, die auf den verschobenen Forward angewendet wird. Höheres Sigma = alles kostet mehr.
• Verschiebung (d): Wie weit Sie die Preisachse verschieben. Ein negatives d erzeugt Put-Skew (die Vol steigt, wenn der Preis fällt). Ein positives d erzeugt milden Call-Skew. Eine Verschiebung von null entspricht dem Standard-Black-Scholes.

Stärken und Grenzen

Stärke

Was das für Sie bedeutet

Kann negative Werte abbilden

Mit negativer Verschiebung erlaubt das Modell negative Preise des Basiswerts. Das war entscheidend, als Zinssätze negativ wurden.

Geschlossene Bewertungsformel

Es ist buchstäblich Black-Scholes mit verschobenen Eingaben. Jede BS-Formel, jeder Greek -- alles überträgt sich exakt.

Zwei Parameter

Vol-Niveau und Verschiebung. Einfach zu kalibrieren, schwer zu überfitten.

Grenze

Was das für Sie bedeutet

Keine Smile-Krümmung

Wie CEV erzeugt Displaced Diffusion Skew (Neigung), aber keinen Smile (Krümmung). Es kann keinen Markt-Smile abbilden, der an beiden Flanken nach oben gekrümmt ist.

Nur linearer Skew

Der erzeugte Skew ist über die Ausübungspreise hinweg nahezu linear. Der reale Markt-Skew weist Krümmung auf, besonders bei kurzlaufenden Optionen.

Verschiebung ist willkürlich

Es gibt keinen ökonomischen Grund für einen bestimmten Verschiebungswert. Es ist ein Anpassungsregler, keine Modellerkenntnis.

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Der schnellste Weg von Black-Scholes zu Skew

Displaced Diffusion ist der schnellste Weg, Black-Scholes um Skew zu erweitern. Ein guter Ausgangspunkt, aber reale Märkte benötigen mehr Parameter. Für ein sauberes Delta- und Vega-Hedging über die gesamte Laufzeitstruktur hinweg benötigen Sie ein reichhaltigeres Modell.

Gleichungs-Explorer

Rechnen Sie zwischen impliziter Volatilität, Gesamtvarianz, Log-Moneyness und Optionspreisen um.

Gleichungs-Explorer

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Implizite Vol (σ)

%

Die implizite Volatilität

Zeit bis zum Verfall

Tage

Kalendertage bis zum Verfall

Gesamtvarianz (w)

0.022225

Annualisierte Varianz (σ²)

0.2704

Zurückgerechnete IV

52.00%

Die Gesamtvarianz ist das, was SVI und andere Modelle fitten. Sie skaliert mit der Zeit: 50% Vol über 30 Tage hat weniger Gesamtvarianz als 50% Vol über 90 Tage.

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Testen Sie Ihr Verständnis bevor Sie fortfahren.

Q: Was bewirkt eine negative Verschiebung beim Volatilitäts-Smile?

Q: Warum war Displaced Diffusion um 2014-2016 in Zinsmärkten beliebt?

💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.

Mathematische Intuition aufbauen

Displaced Diffusion von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötig

Diese Lektion erklärt den Trick der verschobenen Achse in verständlicher Sprache, zeigt, wie der Verschiebungsparameter den Smile verändert, und verbindet das Modell zurück mit der Black-Scholes-Intuition.

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Siehe auch:

• CEV-Modell -- Ein weiteres einfaches Skew-Modell (Potenzgesetz-Backbone)
• SABR-Modell -- Vollständiges stochastisches Vol-Modell (CEV-Backbone + Vol-of-Vol)
• Skew -- Warum sich der Smile neigt
• Interpolationsmethoden -- Alle Smile-Modelle im Vergleich