CEV von Grund auf
1/5Ein Parameter steuert das gesamte Backbone
CEV ist wahrscheinlich das einfachste Modell, das Skew erzeugt. Ein Exponent -- β -- entscheidet, wie der Diffusionskoeffizient mit dem Spot-Niveau skaliert. Das ist der ganze Trick.
In Black-Scholes lautet die Spot-SDE dS = σ·S·dW. Der Rauschterm ist proportional zu S, sodass die prozentuale Volatilität konstant ist. CEV verallgemeinert dies zu:
β = 0: erhalten Sie das Bachelier-/Normalmodell. Die Diffusion ist σ·dW -- additives Rauschen, gar keine Preisabhängigkeit.
0 < β < 1: etwas dazwischen. Die Diffusion wächst mit S, aber langsamer als proportional.
Stellen Sie sich β als Regler an einem Mischpult vor. Ganz nach rechts (β = 1) erhalten Sie die lognormale Welt -- konstante prozentuale Schwankungen. Ganz nach links (β = 0) erhalten Sie die normale Welt -- konstante Dollar-Schwankungen. Alles dazwischen ist eine Mischung. Das Modell kümmert sich nicht um Sprünge, Regime oder stochastische Vol. Es fragt nur: Wie hängt die Größe des zufälligen Schocks vom Preisniveau ab?
Die prozentuale Volatilität unter CEV ist σ·Sβ−1. Wenn β < 1, ist der Exponent negativ, sodass die prozentuale Vol steigt, wenn S fällt. Das ist der Leverage-Effekt, und er ist der gesamte Motor hinter dem CEV-Skew. Keine zusätzlichen Parameter, keine zusätzlichen Rauschquellen. Nur der Exponent.
β < 1 bedeutet, dass die Vol steigt, wenn der Spot fällt
Das ist der Leverage-Effekt. In Aktien- und Krypto-Märkten steigt die Vol durchweg, wenn der Spot fällt. CEV mit β < 1 erfasst dies mechanisch, ohne einen zweiten stochastischen Faktor zu benötigen.
Wenn β = 0.5, ist die lokale Vol-Funktion σ·√S. Wenn S von 100 auf 50 fällt, fällt die lokale Vol nicht proportional -- sie fällt nur um √(50/100) ≈ 0.71. Aber der Spot fiel um die Hälfte. Die prozentuale Vol steigt tatsächlich.
Der Effekt ist automatisch und deterministisch. Es gibt keinen Korrelationsparameter zum Einstellen, keine zweite Brownsche Bewegung. Die Preis-Vol-Beziehung ist in den einzelnen Exponenten β.
Dies erzeugt einen negativen Skew in der impliziten Volatilität ohne zusätzliche Parameter. Wenn der Markt fällt, steigt die Vol mechanisch, sodass OTM-Puts wertvoller werden. Der Put-Flügel des Smiles hebt sich.
Der Simulator oben zeigt es deutlich. Linkes Panel: CEV-Preispfade. Wenn β < 1, werden fallende Pfade sichtbar rauschiger -- breitere Ausschläge bei niedrigeren Niveaus. Rechtes Panel: gefensterte realisierte Vol, aufgetragen gegen das Preisniveau. Die negative Steigung ist der Leverage-Effekt.
Setzen Sie β = 1 und das Streudiagramm flacht ab. Es gibt keine Preis-Vol-Abhängigkeit. Das ist die Black-Scholes-Welt.
Setzen Sie β > 1 und die Beziehung kehrt sich um: Die Vol steigt mit dem Preis. Das ist in der Praxis ungewöhnlich, zeigt Ihnen aber die gesamte Bandbreite des Modells.
Der Leverage-Effekt ist nicht nur eine Modellkuriosität. Er ist in realisierten Daten für Aktien, Kredit und Krypto beobachtbar. Wenn Märkte abverkaufen, springt die realisierte Volatilität nach oben. CEV besagt, dass dies nicht daran liegt, dass die Volatilität ihren eigenen Zufallsprozess hat -- es liegt daran, dass der Diffusionskoeffizient mechanisch vom Preisniveau abhängt. Es ist die günstigstmögliche Erklärung für Skew.
Der implizite Vol-Smile aus CEV
CEV erzeugt eine bestimmte implizite Vol-Form, die vollständig gesteuert wird durch β. Die Form ist eine Neigung, kein U. CEV kann Skew, aber es kann kein symmetrisches Smile erzeugen.
Die Zuordnung ist unkompliziert:
β = 1: Flaches Smile. Kein Skew, keine Krümmung. Das ist Black-Scholes.
β < 1: Negativer Skew. Der Put-Flügel ist erhöht, der Call-Flügel ist gesenkt. Je weiter β unter 1 liegt, desto steiler der Skew.
β > 1: Positiver Skew. Der Call-Flügel steigt, der Put-Flügel fällt. Selten in Aktien/Krypto, aber möglich in einigen Rohstoffmärkten.
Entscheidend ist, dass das Smile aus CEV monoton ist. Es neigt sich in die eine oder andere Richtung, hat aber keine U-Form. Es gibt keinen Mechanismus, damit sich beide Flügel gleichzeitig heben, weil es keine Vol-of-Vol oder stochastische Varianz gibt, die eine symmetrische Flügelanreicherung erzeugen könnte.
Der Explorer oben zeigt beide Teile: die lokale Vol-Funktion σ·Sβ links, und den daraus resultierenden impliziten Vol-Smile rechts. Ziehen Sie β und beobachten Sie, wie sie sich gemeinsam bewegen. Die Steigung der lokalen Vol treibt direkt die Neigung des Smiles.
Bei β = 1 ist die lokale Vol-Funktion eine Gerade durch den Ursprung (proportional zu S). Der Smile ist flach. Wenn β unter 1 fällt, krümmt sich die lokale Vol-Funktion bei hohem S nach unten -- das heißt, der Prozess wird bei höheren Preisen weniger volatil. Der Smile neigt sich nach links.
CEV als Backbone von SABR
SABR’s forward equation is dF = σ·Fβ·dW₁ ist. Das ist buchstäblich der CEV-Prozess. SABR schraubt lediglich eine zweite SDE für den Vol-Parameter selbst darauf.
Das vollständige SABR-System lautet:
Zweite Zeile: σ ist jetzt stochastisch. ν (Vol-of-Vol) steuert, wie stark σ umherschweift. Wenn ν = 0 ist, σ ist eine Konstante und Sie sind zurück im reinen CEV.
Dritte Zeile: die beiden Brown'schen Bewegungen sind korreliert. ρ fügt eine zusätzliche Neigung zu dem hinzu, was β bereits liefert.
CEV ist also das deterministische Fundament von SABR. Der β Exponent steuert die Grundgerüstform des Smiles. SABR fügt dann stochastische Vol obendrauf: ν erzeugt Krümmung (Anreicherung der Flügel), und ρ fügt eine zusätzliche gerichtete Neigung hinzu.
In der Praxis fixieren Zins-Desks oft β auf einen konventionellen Wert (0,5 für Zinsen, manchmal 0 oder 1 je nach Regime) und kalibrieren dann σ, ν, ρ auf den beobachteten Smile. Das Grundgerüst wird einmal gewählt; die stochastische Überlagerung wird täglich angepasst.
Der Vergleich oben macht es anschaulich. Die durchgezogene grüne Kurve ist CEV allein -- eine monotone Neigung. Die gestrichelte blaue Kurve ist SABR mit demselben β aber einem von null verschiedenen ν. SABR fügt die Krümmung hinzu, die CEV nicht erzeugen kann.
Setzen Sie ν = 0 im Schieberegler und beobachten Sie, wie sich die Kurven perfekt überlagern. Das bestätigt die Beziehung: SABR mit einer Vol-of-Vol von null ist exakt CEV. Das Grundgerüst ist gemeinsam.
Wenn Sie SABR kalibrieren, ist die Wahl von β nicht unbedeutend. Sie bestimmt, wie viel des beobachteten Skews dem Grundgerüst (preisabhängige Vol) gegenüber der stochastischen Überlagerung (ρ Neigung) zugeschrieben wird. Unterschiedliche β Wahlen führen zu unterschiedlichen ρ passt, was die Forward-Dynamik und somit das Hedging-Verhalten beeinflusst. CEV für sich zu verstehen hilft Ihnen zu verstehen, was β innerhalb von SABR tatsächlich bewirkt.
Grenzen und Anwendungen
CEV ist zu einfach, um reale Smiles zu fitten. Aber es ist das richtige mentale Modell, um zu verstehen, wie preisabhängige Volatilität funktioniert, und es taucht in jeder SABR-Kalibrierung auf.
Was CEV nicht kann:
Keine Krümmung. Reale Smiles haben sowohl Neigung als auch Krümmung -- Put-Flügel sind steil, Call-Flügel sind erhöht. CEV erzeugt eine monotone Neigung, aber keine U-Form. Wenn Sie versuchen, einen realen Krypto-Smile allein mit CEV zu fitten, verfehlen Sie die Flügel vollständig.
Keine Laufzeitstruktur-Dynamik. CEV hat keine Mean Reversion, kein Vol-Clustering, keine Regimewechsel. Die lokale Volatilitätsfunktion ist statisch. Kurz- und langlaufende Smiles haben dieselbe Form, was dem beobachteten Verhalten der Laufzeitstruktur widerspricht.
Absorption bei Null. Für β < 1, kann der Prozess Null erreichen und absorbiert werden. Das ist ein technisches Ärgernis für die Preisbildung und erfordert spezielle Randbedingungen.
Wofür CEV gut ist:
Vermittlung des Leverage-Effekts. Wenn Sie ein Modell möchten, das erklärt, warum die Volatilität steigt, wenn der Spot fällt, dann ist CEV das richtige. Ein Parameter, ein Mechanismus, klare Intuition.
Auswahl des SABR-Backbone. Bei der Kalibrierung von SABR wählen Sie β zuerst. Zu verstehen, was CEV für sich bewirkt, sagt Ihnen, was Sie dem Backbone gegenüber dem stochastischen Overlay zuschreiben.
Schnelle Skew-Approximationen. Die CEV-Entwicklung der impliziten Volatilität liefert Ihnen eine analytische Beziehung zwischen β und der Steilheit des Skew. Wenn Ihnen jemand eine Skew-Zahl nennt, können Sie das implizite β im Kopf ableiten.
Debatte normal vs. lognormal. An den Zinsmärkten ist die Wahl zwischen normaler (β = 0) und lognormaler (β = 1) Quotierungskonvention eine aktuelle Debatte. CEV macht daraus ein kontinuierliches Spektrum statt einer binären Wahl.
CEV besagt: Die Größe des zufälligen Schocks hängt vom Preisniveau ab, und β steuert wie. Alles andere -- Skew, Leverage-Effekt, SABR-Backbone -- folgt aus dieser einen Idee.
Wie es weitergeht:
SABR-Modell -- die stochastische Volatilitätserweiterung, die CEV als Backbone verwendet
SVI-Parametrisierung -- direktes Smile-Fitting für Produktionsoberflächen
Heston-Modell -- ein anderer stochastischer Volatilitätsansatz mit mean-revertierender Varianz
Interpolationsmethoden -- alle Methoden im Vergleich