Black-Scholes von Grund auf
1/7Was ist eine Call-Option?
Eine Call-Option ist eine Wahl: Sie können später zu einem festen Preis K kaufen oder darauf verzichten. Dieses eine Detail erzeugt die gesamte Form der Auszahlung.
Endet der Basiswert unter dem Ausübungspreis, ignorieren Sie die Option. Endet er darüber, kaufen Sie zum günstigeren festen Preis und streichen die Differenz ein.
Ziehen Sie den Schieberegler. Unter K ist die Auszahlung null — Sie würden nie ausüben. Über K steigt die Auszahlung Dollar für Dollar. Dieser Knick bei K ist der ganze Grund, warum Optionen existieren.
Stellen Sie sich eine kleine Reservierungsgebühr für ein Konzertticket vor. Explodieren die Wiederverkaufspreise, ist Ihre Reservierung wertvoll. Bleiben die Preise niedrig, verzichten Sie darauf. Die Optionsprämie ist diese Reservierungsgebühr.
Die fünf Eingabegrößen
Bevor Sie die Formel aufschreiben, sollte jedes Symbol langweilig wirken. Bleiben die Symbole mysteriös, bleibt das ganze Modell mysteriös.
Bewegen Sie jeden Schieberegler unten und beobachten Sie, wie der Call-Preis reagiert. Jede Eingabe drückt in eine bestimmte Richtung. Bekommen Sie ein Gefühl dafür, bevor wir die Formel benennen.
Zusammenfassung in einem Satz: Black-Scholes bepreist ein Recht, dessen Wert davon abhängt, wo der Basiswert jetzt steht (S), wo Sie kaufen können (K), wie viel Zeit Sie haben (T), wie breit die Zukunft sein kann (σ) und wie viel das Warten kostet (r).
Zwei große Teile
Die meisten begegnen zuerst der fertigen Formel. Das ist verkehrt herum. Lernen Sie zuerst die Geschichte und legen Sie dann die Symbole darauf.
Klicken Sie sich durch die drei Ebenen unten. Beobachten Sie, wie sich das Deutsche in Mathematik verwandelt.
Der erste Teil ist, wie viel Basiswert-ähnliches Aufwärtspotenzial Sie erhalten. Der zweite Teil ist, was Sie dafür schulden würden, auf heute abgezinst. Die Differenz ist der Wert der Option.
N(d₁) und N(d₂) sind Gewichte zwischen 0 und 1. Sie stammen aus der Normalverteilung. Wir werden sie als Nächstes auseinandernehmen.
Was sind d₁ und d₂?
Der Teil, der die meisten erschreckt. Sie sind nicht mystisch. Sie sind Bewertungskarten — sie messen, wie günstig das Options-Setup ist, in Einheiten der Volatilität einer Laufzeit.
N(d) ist die Fläche unter der Glockenkurve links von d. Ziehen Sie den Schieberegler und beobachten Sie, wie sich die schattierte Fläche — das Gewicht — verändert.
d₁ aufgeschlüsselt:
(r + σ²/2)T — Drift- und Volatilitätskorrektur über die Laufzeit der Option.
Ein vollständiges Beispiel durchrechnen
Zahlen machen es greifbar. Beginnen Sie mit einfachen Standardwerten, ändern Sie dann die Eingaben und beobachten Sie, wie jeder Zwischenschritt aktualisiert wird.
Warum genau dieser Preis und kein anderer
Black-Scholes ist keine Vermutung. Sein Rückgrat ist die Replikation: Wenn Sie eine Option mit Basiswert und Bargeld nachbilden können, müssen die Option und die Nachbildung gleich viel kosten.
Vereinfachen wir auf eine Periode. Der Basiswert geht auf 120 $ oder 80 $. Der Call mit K = 100 zahlt 20 $ oder 0 $. Können wir ein Portfolio aus Basiswert und Bargeld bauen, das diese Auszahlungen exakt nachbildet?
Die Nachbildung kostet 10 $. Die Option muss ebenfalls 10 $ kosten — sonst kauft jemand die günstige, verkauft die teure und erzielt einen risikolosen Gewinn. Deshalb wird das Modell durch Arbitrage diszipliniert, nicht durch Bauchgefühl.
Black-Scholes ist die glatte, zeitstetige Version dieses Nachbildungsarguments — unendlich oft angewendet, während sich der Preis des Basiswerts kontinuierlich ändert.
Aus dem Gedächtnis aufschreiben
Tippen Sie auf jede Karte, um sich selbst zu prüfen. Wenn Sie alle vier ausfüllen können, sitzt die Formel.
Schnelle Gedächtnisprüfung — tippen Sie, um die Antworten zu sehen:
Wie es weitergeht:
Implizite Volatilität — das Modell rückwärts vom Preis aus nutzen
Greeks-Referenz — den Preis mit den Hedge-Sensitivitäten verbinden
Put-Call-Parität — die nächste Bewertungsidentität, die man sicher beherrschen sollte