Black-Scholes-Modell
Black-Scholes beantwortet eine einfache Frage: "Was sollte diese Option kosten?"
Aus fünf Eingabewerten - Spot-Preis, Ausübungspreis, Restlaufzeit bis zum Verfall, Zinssatz und Volatilität - liefert die Formel einen theoretischen fairen Wert. Sie ist das Standard-Bewertungsmodell für europäische Optionen und die Grundlage für die Berechnung der impliziten Volatilität und der Griechen.
Die Eingabewerte
Black-Scholes und die Griechen
Experimentieren Sie mit dem Rechner oben. Sehen Sie, wie sich der Preis ändert, wenn Sie die einzelnen Schieberegler bewegen? Diese Sensitivitäten haben Namen - sie werden Griechen genannt.
| Grieche | Was er misst |
|---|---|
| Delta | Wie stark sich der Optionspreis bewegt, wenn sich der Spot um $1 bewegt |
| Theta | Wie stark der Optionspreis pro Tag fällt |
| Vega | Wie stark sich der Optionspreis bewegt, wenn sich die IV um 1 % bewegt |
| Gamma | Wie stark sich das Delta selbst ändert, wenn sich der Spot bewegt |
Das sind keine abstrakten Zahlen. Probieren Sie es aus: Schieben Sie den Spot langsam nach oben und beobachten Sie den Call-Preis. Diese Änderungsrate ist das Delta.
Aber was ist ein Grieche eigentlich?
Jeder Grieche ist eine Steigung - die Steilheit einer Kurve.
Die Kurve zeigt, wie sich der Optionspreis ändert, wenn sich ein Eingabewert ändert. Je steiler die Kurve an Ihrer aktuellen Position, desto sensibler reagiert der Preis auf diesen Eingabewert.
- Flache Kurve → kleiner Grieche → der Preis reagiert kaum auf diesen Eingabewert
- Steile Kurve → großer Grieche → der Preis bewegt sich stark, wenn sich dieser Eingabewert ändert
Genau das bedeutet eine "Ableitung" in der Mathematik - die Steigung einer Kurve an einem Punkt. Jeder Grieche misst lediglich die Steigung in eine andere Richtung.
Weitere Informationen zu den einzelnen Griechen finden Sie in der Griechen-Referenz.
Die Volatilität (σ) ist der einzige Eingabewert, der nicht direkt beobachtbar ist. S, K, T und r können Sie nachschlagen - σ muss jedoch geschätzt oder aus Marktpreisen impliziert werden. Deshalb ist die implizite Volatilität so wichtig.
Zentrale Annahmen
Black-Scholes nimmt an:
| Annahme | Realität |
|---|---|
| Nur europäische Ausübung | ✓ Entspricht Hypercall |
| Konstante Volatilität | ✗ Die Volatilität ändert sich ständig |
| Keine Dividenden | ✓ Für Krypto weitgehend zutreffend |
| Log-normale Preisverteilung | ✗ Krypto hat Fat Tails |
| Kontinuierlicher Handel | ✓ Krypto wird rund um die Uhr gehandelt |
| Keine Transaktionskosten | ✗ Gebühren existieren |
Trotz dieser Einschränkungen bleibt Black-Scholes die Grundlage der Optionsbewertung.
Warum es wichtig ist
- Branchenstandard - Alle nutzen es als Referenz
- Herleitung der Griechen - Delta, Gamma, Theta und Vega stammen alle aus Black-Scholes
- Implizite Volatilität - Wird durch Invertierung von Black-Scholes bei gegebenem Marktpreis gelöst
- Schnelle Plausibilitätsprüfungen - Ist diese Option vernünftig bepreist?
In der Praxis
Sie müssen Black-Scholes nicht von Hand berechnen. Plattformen wie Hypercall verwenden es intern, um:
- Theoretische Preise anzuzeigen
- Griechen zu berechnen
- Die implizite Volatilität aus Marktpreisen abzuleiten
Das Modell liefert Ihnen einen theoretischen fairen Wert. Der Marktpreis kann aufgrund von Angebot und Nachfrage abweichen, aber Black-Scholes ist der Referenzpunkt.
Mathematische Intuition aufbauen
Black-Scholes von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine VorkenntnisseDie interaktive Lektion oben behandelt die Black-Scholes-Formel von Grund auf: was eine Call-Option ist, die fünf Eingabewerte (S, K, T, r, σ), die zweiteilige Formelstruktur (C = S·N(d₁) − K·e⁻ʳᵀ·N(d₂)), was d₁ und d₂ messen, ein vollständig durchgerechnetes Zahlenbeispiel sowie das No-Arbitrage-Replikationsargument, das den Preis diszipliniert.
Open-Source-Implementierungen
| Repository | Warum ein Blick lohnt |
|---|---|
| QuantLib | Branchenstandard-Analysebibliothek in C++, kanonische BS-Implementierung |
| py_vollib | Sauberer Python-BS- und IV-Solver, leicht lesbar |
| lets_be_rational | Schneller IV-Solver, der zeigt, wie echte Invertierung funktioniert |
| RustQuant | Moderne Rust-Quant-Bibliothek mit BS-Bewertung |
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