Bates von Grund auf
1/5Heston + Sprünge = Bates
Heston erklärt den langfristigen Smile: Stochastische Varianz erzeugt glatten Skew und Laufzeitstruktur. Merton erklärt den kurzfristigen Smile: Sprünge im Preisprozess erzeugen steile Flügel bei kurzen Verfällen. Bates kombiniert beides in einem Modell.
Das Kernproblem ist einfach. Heston bewegt sich stetig -- der Spot-Preis teleportiert nie. Das bedeutet: Heston allein kann nicht erklären, warum ein 25-Delta-Put mit 1 Woche Laufzeit bei 80% Vol handeln kann, während die 1-Jahres-Version bei 55% handelt. Die Steilheit der kurzfristigen Flügel erfordert etwas, das stetige Diffusion nicht liefern kann: sofortige Kurslücken.
Merton (1976) löste das Lückenproblem, indem er der geometrischen Brownschen Bewegung einen Poisson-Sprungprozess hinzufügte. Merton hat jedoch keine stochastische Varianz und kann daher die Dynamik der Laufzeitstruktur nicht reproduzieren. Ein Verfall wird gut bepreist, dann versagt das Modell entlang der Kurve.
Bates (1996) fügte beides zusammen. Das Ergebnis ist das Arbeitspferd-Modell für Exoten-Desks, die sowohl realistische Dynamik als auch handhabbare Bepreisung benötigen.
Zweite Zeile: Die Varianz folgt demselben CIR-Prozess wie Heston. Hier ändert sich nichts.
Dritte Zeile: Dieselbe Korrelationsstruktur. ρtreibt weiterhin den glatten Skew.
Denken Sie an ein Auto auf einer holprigen Straße (Heston: die Qualität des Straßenbelags ändert sich stochastisch). Fügen Sie nun zufällig auftauchende Schlaglöcher hinzu (Merton-Sprünge: das Auto sackt plötzlich ab). Sie brauchen eine Federung für die Unebenheiten und Airbags für die Schlaglöcher. Bates liefert Ihnen beides.
Die zentrale mathematische Erkenntnis: Weil die Sprungkomponente unabhängig vom Varianzprozess ist, ist die charakteristische Funktion von Bates einfach die charakteristische Funktion von Heston multipliziert mit dem Merton-Sprungfaktor. Damit bleibt die Bepreisung semi-analytisch -- Fourier-Inversion funktioniert weiterhin. Kein Monte Carlo für Vanillas nötig.
Was die zusätzlichen Parameter bewirken
Bates erbt Hestons fünf Parameter (κ, θ,σ, ρ, v₀) und fügt drei Sprung-Parameter hinzu:λ (Sprunghäufigkeit), μⱼ (mittlere Sprunggröße) und σⱼ (Sprungvolatilität). Insgesamt acht Stellschrauben.
λ (Lambda) -- Sprungintensität. Erwartete Anzahl der Sprünge pro Jahr. λ = 0 stellt reines Heston wieder her. λ = 2 bedeutet im Durchschnitt etwa zwei Sprünge pro Jahr. Höheres λ hebt die Flügel weiter an, weil der Markt mehr Gap-Ereignisse in die Optionen einpreist.
μⱼ (mu-J) -- mittlere Sprunggröße. Der durchschnittliche Log-Return eines Sprungs. Negatives μⱼ bedeutet, dass Sprünge nach unten verzerrt sind (Crash-Sprünge). Dies erzeugt Asymmetrie: Der Put-Flügel wird steiler als der Call-Flügel. In Krypto liegtμⱼ typischerweise zwischen −0.05 and−0,15, was Liquidationskaskaden und Flash-Crashes widerspiegelt.
σⱼ (sigma-J) -- Sprungvolatilität. Die Standardabweichung der Sprunggrößen. Selbst wenn der mittlere Sprung null ist, erzeugt ein von null verschiedenes σⱼ einen symmetrischen Auftrieb der Flügel. Dies ist reine Exzess-Kurtosis aus zufällig großen Sprüngen. Größeresσⱼ bedeutet fettere Ränder.
Schalten Sie die Sprünge oben ein und aus. Wenn die Sprünge aus sind, sehen Sie reines Heston (blau gestrichelt). Schalten Sie sie ein, und die Flügel heben sich -- insbesondere der linke Flügel, weil μⱼ < 0 die Sprünge nach unten verzerrt. Drehen Sie λ auf 3 oder 4 und der Effekt ist dramatisch. Setzen Sie μⱼ = 0 und beachten Sie, dass der Auftrieb symmetrisch wird.
Die entscheidende Erkenntnis: ρ (Heston) und μⱼ(Sprünge) erzeugen beide Skew, aber über völlig unterschiedliche Mechanismen.ρ erzeugt Skew über die Spot-Vol-Korrelation, die sich allmählich über die Zeit aufbaut. μⱼ erzeugt Skew über gerichtete Sprünge, die augenblicklich auftreten. Deshalb kann Bates sowohl das kurze als auch das lange Ende gleichzeitig anpassen.
Zerlegung der Laufzeitstruktur
Der kurzfristige Smile besteht überwiegend aus Sprüngen. Der langfristige Smile besteht überwiegend aus stochastischer Vol. Diese Trennung ist der Grund, warum Bates existiert -- keine Komponente allein passt zur gesamten Laufzeitstruktur.
Der Mechanismus ist die Skalierung der Varianz. Die diffusive Varianz akkumuliert proportional zu T: über ein Jahr hat die diffusive Komponente Zeit, sich aufzubauen. Die Sprungvarianz skaliert ebenfalls mit T (λ · T erwartete Sprünge), aber jeder einzelne Sprung hat die gleiche Größe, unabhängig vom Horizont.
Bei T = 7 Tagen hatte die diffusive Varianz kaum Zeit, sich aufzubauen, aber ein einzelner Sprung kann Sie immer noch in voller Größe treffen. Ein −10%-Crash in einer Woche hat denselben Auszahlungseffekt wie ein−10%-Crash in einem Jahr -- aber der Crash stellt über 7 Tage einen viel größeren Anteil der gesamten erwarteten Bewegung dar als über 365 Tage.
Bei T = 1 Jahr hatte die stochastische Vol Zeit, die volle Verteilung der Varianzpfade auszuschöpfen. Mean Reversion, Vol-Clustering und Spot-Vol-Korrelation kommen alle zum Tragen. Die Sprungkomponente ist weiterhin vorhanden, macht aber einen kleineren Anteil der Gesamtvarianz aus.
Betrachten Sie die vier Charts oben. Bei T = 7d dominiert der rote Bereich (Sprungbeitrag) die Flügel. Bei T = 1y ist er ein dünner Streifen. Erhöhen Sie λ und beobachten Sie, wie sich der Übergangspunkt verschiebt -- häufigere Sprünge drücken den Sprungbeitrag weiter nach außen in der Kurve.
Diese Zerlegung hat direkte Trading-Implikationen. Halten Sie das Sprungrisiko für falsch bepreist, handeln Sie das kurze Ende. Halten Sie die Varianzdynamik für falsch bepreist, handeln Sie das lange Ende. Bates liefert Ihnen einen Rahmen, um diese Wetten zu trennen.
Kalibrierung von Bates
Acht Parameter sind viel. Verschiedene Kombinationen können ähnliche Smiles erzeugen, und der Optimierer kann in instabiles Terrain abdriften. Praktische Kalibrierung erfordert Disziplin.
Der Standardansatz ist eine zweistufige Strategie:
Stufe 1: Fixieren Sie, was beobachtbar ist. v₀ wird aus der aktuellen ATM-impliziten Varianz fixiert. Die Driftrate r ist bekannt. Damit bleiben sieben freie Parameter.
Stufe 2: Kalibrieren Sie in Gruppen. Passen Sie zuerst κ, θ, σ, ρ an den langfristigen Smile an (wo Sprünge wenig beitragen). Passen Sie dannλ, μⱼ, σⱼ an die kurzfristigen Residuen an. Iterieren Sie einige Male zur Verfeinerung.
Dieser Ansatz funktioniert, weil die beiden Parametergruppen unterschiedliche Teile der Oberfläche steuern. Heston-Parameter formen das hintere Ende; Sprungparameter formen das vordere Ende. Die sequentielle Anpassung reduziert die Dimensionalität jedes Optimierungsschritts.
Die Overfitting-Falle. Mehr Parameter verbessern immer die In-Sample-Anpassung. Aber wenn Sie alle acht frei laufen lassen, riskieren Sie, Rauschen anzupassen. Das verräterische Zeichen: Parameter, die sich von Tag zu Tag dramatisch ändern, während sie ähnliche Smiles erzeugen. Wenn λ über aufeinanderfolgende Kalibrierungen zwischen 0,5 und 3,0 schwankt, ist Ihre Anpassung instabil.
Das Diagramm oben zeigt einen realistischen Vergleich. Heston (orange, 5 Parameter) passt den ATM-Bereich gut an, verfehlt aber systematisch die tief aus dem Geld (OTM) liegenden Puts. Bates (grün, 8 Parameter) trifft die Flügel exakt, weil die Sprungkomponente den steilen kurzfristigen Skew erfasst, den Heston nicht erreichen kann.
Betrachten Sie das Residuen-Diagramm unter dem Hauptplot. Heston-Residuen sind in den Flügeln groß und systematisch -- das Modell ist verzerrt, nicht nur verrauscht. Bates-Residuen sind kleiner und zufälliger. Das ist das Kennzeichen einer echten Verbesserung, nicht nur von Overfitting.
Faustregel: Wenn das Hinzufügen von 3 Parametern den SSE um mehr als 50% reduziert, rechtfertigt sich die zusätzliche Komplexität. Beträgt die Reduktion nur 10-20%, sind Sie womöglich besser beraten, bei Heston zu bleiben und den Flügelfehler zu akzeptieren.
Das Arbeitspferd für Krypto
Bates ist das Standardmodell für Krypto-Exoten-Desks, weil Kryptomärkte sowohl stochastische Volatilität als auch häufige Sprünge aufweisen. Liquidationskaskaden, Depegs und Börsenausfälle erzeugen echtes Gap-Risiko, das Heston allein nicht bepreisen kann.
Krypto-Volatilitätsoberflächen haben charakteristische Merkmale, die Bates gut abbildet:
Persistente Vol-Regime. BTC kann wochenlang bei 30% IV bleiben und dann bei einer einzigen Liquidationskaskade auf 80% springen. Niedrigesκ (langsame Mean-Reversion) kombiniert mit hohem v₀erfasst das Umfeld nach dem Schock. Dies ist die Heston-Komponente, die ihre Arbeit verrichtet.
Häufige Gap-Bewegungen. Ein 10%-Intraday-Crash ist bei Aktien ungewöhnlich, tritt aber bei Krypto mehrmals pro Jahr auf. Dies sind echte Sprünge, nicht nur große diffusive Bewegungen. Sie zeigen sich als extrem steile kurzfristige Put-Flügel, die kein noch so großesσ (Vol-of-Vol) erreichen kann. Die Sprungkomponente bewältigt dies.
Beide Richtungen. Anders als bei Aktienmärkten, wo Sprünge fast immer nach unten gehen, hat Krypto auch ein erhebliches Aufwärts-Gap-Risiko (Short Squeezes, überraschende ETF-Zulassungen, Börsenlistings). Wenn Sieμⱼ näher an null setzen (oder für einige Coins sogar leicht positiv), kann das Modell symmetrisches Gap-Risiko erfassen.
Die Varianzzerlegung oben zeigt, wie sich die gesamte ATM-Varianz auf die diffusive und die Sprungkomponente aufteilt. Bei typischen Krypto-Parametern können Sprünge 20-40% der Gesamtvarianz ausmachen. Das ist kein Korrekturterm -- das ist ein Effekt erster Ordnung.
Jenseits von Bates: SLV. Bates passt die beobachtete Oberfläche besser an als Heston, kann aber immer noch nicht jeden Strike und Verfall exakt anpassen. Für das produktive Pricing exotischer Optionen legen die meisten Desks ein lokales Volatilitäts-Overlay darüber und schaffen so ein stochastisch-lokales Vol-Modell (SLV). Bates liefert die Dynamik-Engine; die lokale Vol liefert die exakte Kalibrierung. Siehe die SLV-Referenz für Details.
Wann Bates Overkill ist: wenn Sie nur einen einzelnen Smile für einen einzelnen Verfall interpolieren müssen, verwenden Sie SVI. Wenn Sie eine vollständige Oberfläche ohne Dynamik benötigen, SSVI ist schneller und stabiler. Bates rechtfertigt seine Komplexität, wenn Sie die zugrunde liegende Dynamik benötigen -- für das Pricing exotischer Optionen, das Hedging pfadabhängiger Produkte oder die Zerlegung des Smiles in ökonomische Komponenten.
Black-Scholes: kein Smile. Eine Vol passt zu nichts.
Heston: glatte Smile-Dynamik. Deckt das lange Ende ab.
Bates: glatt + sprunghaft. Deckt beide Enden ab.
SLV: exakte Kalibrierung + Dynamik. Der Produktionsstandard.
Jeder Schritt erhöht Komplexität und Kalibrierungskosten. Die Kunst besteht darin zu wissen, wann sich der zusätzliche Aufwand für Ihren konkreten Anwendungsfall lohnt.
Wie es weitergeht:
Heston von Grund auf -- vertiefter Einblick in die fünf Heston-Parameter
SVI-Parametrisierung -- der Standard zur Smile-Anpassung für Krypto-Volatilitätsoberflächen
SSVI -- arbitragefreie Parametrisierung der gesamten Oberfläche
Interpolationsmethoden -- alle Methoden im Vergleich