Bachelier von Grund auf
1/5Dollar, nicht Prozent
Black-Scholes sagt „eine Bewegung von 10 %“. Bachelier sagt „eine Bewegung von 10 $“. Das ist der gesamte philosophische Unterschied zwischen den beiden ältesten Optionspreismodellen.
Louis Bachelier veröffentlichte sein Modell im Jahr 1900 – 73 Jahre vor Black und Scholes. Seine Idee war denkbar einfach: Preisänderungen sind additiv und normalverteilt. Das Modell besteht aus einer einzigen Gleichung:
Wenn die Normal-Vol 20 $ beträgt, prognostiziert das Modell, dass sich der Preis in einem Jahr um etwa 20 $ bewegen kann. Ob der Preis bei 40 $ oder 400 $ startet – die Schwankung hat in Dollar dieselbe Größe. Das bedeutet „additiv“: Das Rauschen skaliert nicht mit dem Preisniveau.
Vergleichen Sie das mit Black-Scholes, wo das Rauschen multiplikativ ist: dS = S·σ·dW. Dieselbe Vol von 30% erzeugt eine Bewegung von $30 bei einer $100-Aktie, aber eine Bewegung von $150 bei einer $500-Aktie. Der Maßstab dehnt sich.
Bewegen Sie den Preis-Slider. Das Bachelier-Lineal behält seine Markierungen in festen Dollar-Abständen. Das BS-Lineal dehnt oder schrumpft sich, weil jede Markierung ein fester Prozentsatz des aktuellen Preises ist.
Das additive Modell kann negative Preise erzeugen. Das ist ein Fehler, wenn Sie Aktienoptionen bepreisen. Aber es ist ein Vorteil bei Zinsen (die in EUR, JPY, CHF negativ wurden) und bei Spreads (die naturgemäß ein Vorzeichen haben). Bachelier war seiner Zeit 73 Jahre voraus – sein „Defekt“ wurde zum Branchenstandard für Zinsoptionen.
Die Formel ist einfacher, als Sie denken
Der Bachelier-Preis für eine Call-Option hat weniger bewegliche Teile als Black-Scholes. Keine Logarithmen. Kein Drama um Diskontfaktoren. Nur eine Subtraktion, ein Verhältnis und zwei Werte der Normalverteilung.
Zerlegen Sie die Formel in zwei Teile, dann ist sie leicht zu merken:
Piece 1: (S − K)·Φ(d) -- die innere Auszahlung, wahrscheinlichkeitsgewichtet. Wenn der Call im Geld endet, erhalten Sie S − K. Φ(d) ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies eintritt.
Piece 2: σn√T·φ(d) -- das Zeitwert-Polster. Selbst wenn der Spot nahe am Strike liegt, gibt die Unsicherheit der Option eine Chance. Mehr Vol oder mehr Zeit erhöht diesen Term.
Vergleichen Sie mit Black-Scholes: C = S·Φ(d₁) − K·e−rT·Φ(d₂). BS verwendet ln(S/K), wo Bachelier S−K verwendet. Dieser Logarithmus ist der gesamte Unterschied. Nahe ATM stimmen sie überein.
Bewegen Sie den Ausübungspreis vom Spot weg und beobachten Sie, wie die beiden Preise auseinanderlaufen. Nahe ATM sind sie fast identisch, weil die lineare und die logarithmische Näherung lokal übereinstimmen. Weit aus dem Geld (OTM) weichen die Modelle voneinander ab, weil Bachelier negative Preise erlaubt und BS nicht.
Normal-Vol vs. BS-Vol
Die Umrechnung zwischen beiden ist nahe ATM einfach: σn ≈ S · σBS. Ein flacher Normal-Smile wird zu einem geneigten BS-Smile, weil dieselbe Dollarbewegung an jedem Ausübungspreis einem anderen Prozentsatz entspricht.
Wenn der Spot 100 $ und die BS-Vol 30 % beträgt, liegt die Normal-Vol bei etwa 30 $. Fällt der Spot auf 50 $, werden dieselben 30 $ Normal-Vol in BS-Termen zu 60 %. In der Bachelier-Welt hat sich nichts geändert – aber die BS-Vol hat sich verdoppelt.
Deshalb erzeugt ein perfekt flacher Bachelier-Smile (eine Normal-Vol für alle Ausübungspreise) einen geneigten BS-Smile. Bei niedrigen Strikes entspricht dieselbe Dollarbewegung einem größeren Prozentsatz. Bei hohen Strikes einem kleineren. Die implizite BS-Vol-Kurve neigt sich von links nach rechts abwärts.
Die interaktive Darstellung unten zeigt beide Sichten auf denselben Markt. Bachelier sagt: eine Vol. BS sagt: eine Kurve. Keine ist falsch – es sind unterschiedliche Koordinatensysteme für dieselbe Menge an Optionspreisen.
Wann Bachelier das richtige Modell ist
Bachelier ist der Branchenstandard für Zinsoptionen, Spread-Optionen und jedes Produkt, dessen Basiswert negativ werden kann. Für Krypto-Spot ist es nicht die richtige Standardwahl – aber perfekt für Basis- und Funding-Rate-Produkte.
Zinsen: Als die EZB 2014 die Zinsen ins Negative drückte, versagte Black-Scholes. Man kann keinen Logarithmus einer negativen Zahl bilden. Zins-Desks weltweit stellten über Nacht von lognormaler auf normale Quotierung um. Swaption-Vol wird heute in Basispunkten Normal-Vol quotiert, nicht in Prozent Lognormal-Vol.
Spreads: Die Differenz zweier Preise ist naturgemäß additiv. Ein Kalender-Spread, ein Basis-Trade oder ein währungsübergreifender Spread kann positiv oder negativ sein. Bachelier bewältigt das ohne Tricks.
Funding-Produkte: Krypto-Funding-Rates schwanken um null und können negativ werden. Wenn Sie Optionen auf Funding Rates bepreisen, ist Bachelier die natürliche Sprache.
Krypto-Spot: Preise sind positiv und zeigen Leverage-Effekte (die Vol steigt, wenn der Preis fällt). Das lognormale Framework ist hier natürlicher. Verwenden Sie BS für Spot, Bachelier für Zinsen und Spreads.
Das linke Panel zeigt Bachelier-Pfade: additives Rauschen, symmetrisch, einige kreuzen die Null. Das rechte Panel zeigt BS-Pfade: multiplikatives Rauschen, stets positiv, und die Verteilung hat einen langen rechten Rand. Fügen Sie Pfade hinzu und beobachten Sie, wie viele Bachelier-Pfade negativ werden – das ist der „Fehler“, der für Zinsen tatsächlich ein Vorteil ist.
Das Problem des falschen Skews
Wenn Sie einen Bachelier-Markt in Black-Scholes-Termen quotieren, sehen Sie einen Skew, der nicht existiert. Der „Skew“ ist nur eine Koordinatentransformation. Das ist die wichtigste Lektion dieser Seite.
Stellen Sie sich einen Market Maker vor, der Optionen mit einer flachen Normal-Vol bepreist. Jeder Ausübungspreis erhält 20 $ Normal-Vol. Kein Skew. Kein Smile. Eine Zahl.
Nun rechnet ein Trader diese Preise mit einem Standard-IV-Solver in implizite BS-Volatilität um. Die Optionen mit niedrigem Strike zeigen höhere BS-Vol. Die Optionen mit hohem Strike zeigen niedrigere BS-Vol. Der Trader sieht einen Put-Skew und glaubt, der Markt preise Crash-Risiko ein.
Aber es gibt kein Crash-Risiko in diesem Markt. Der Skew ist ein Artefakt davon, eine normale Welt durch eine lognormale Linse zu betrachten. Eine Bewegung von 20 $ bei einem Basiswert von 80 $ sind 25 % in BS-Termen. Dieselbe Bewegung von 20 $ bei einem Basiswert von 120 $ sind nur 16,7 %. Unterschiedliche Prozentsätze, gleiche Dollarbewegung.
Das ist in der Praxis wichtig, weil:
Sie können Skew falsch diagnostizieren. Wenn ein Zins-Desk in Normal-Vol quotiert und Sie in BS umrechnen, sehen Sie einen Skew, der zu 100 % ein Artefakt ist. Handeln Sie ihn nicht.
Die SABR-Verbindung. Der Beta-Parameter von SABR bestimmt, wo Sie im Spektrum zwischen Bachelier und BS stehen. Beta = 0 ist reines Bachelier (normal). Beta = 1 ist reines BS (lognormal). Der Großteil des „Skews“, den Sie bei Beta = 0 in BS-Termen sehen, ist dasselbe Koordinaten-Artefakt.
Die goldene Regel: Bevor Sie einen Skew handeln, fragen Sie sich, ob er eine Markteigenschaft oder eine Modelleigenschaft ist. Was in einem Koordinatensystem flach ist, kann in einem anderen geneigt aussehen.
Nächste Schritte:
Black-Scholes – das lognormale Gegenstück
SABR-Modell – wählt über Beta die Position im Normal-Lognormal-Spektrum
CEV-Modell – verbindet normal und lognormal über den Beta-Parameter
Skew – Modell-Artefakte von Markteigenschaften trennen