Bachelier-Modell (Normalmodell)
Bachelier (1900) war das erste Optionspreismodell -- 73 Jahre vor Black-Scholes. Preisänderungen sind additiv und normalverteilt. Statt prozentuale Renditen zu modellieren (lognormal), modelliert Bachelier absolute Dollar-Änderungen (normal). Der Preis kann negativ werden -- ein Fehler für Aktien, ein Feature für Zinssätze.
Das Modell hat genau einen Parameter: die normale Volatilität, gemessen in absoluten Einheiten (z. B. „$50/Jahr" statt „30 %/Jahr"). Es gibt keinen Smile. Wäre die Welt eine Bachelier-Welt, hätte jede Option über alle Strikes hinweg dieselbe normale Volatilität. Dieser flache Smile ist die Kernvorhersage des Modells.
Skew kann ein Modellartefakt sein
Bachelier erzeugt per Konstruktion einen flachen Smile. Wandeln Sie diese Preise in die implizite Volatilität nach Black-Scholes um, erhalten Sie einen Skew. Dieser Skew steckt nicht im Markt -- er ist die Folge davon, lognormale Mathematik auf eine Welt zu zwingen, die möglicherweise normal ist.
Erkunden Sie das Modell
Die flache blaue gestrichelte Linie ist die Bachelier-Sicht: eine Volatilität für alle Strikes. Die grüne Kurve zeigt dieselben Optionspreise, ausgedrückt in Black-Scholes-Größen. Senken Sie den Spotpreis und beobachten Sie, wie der scheinbare BS-Skew steiler wird -- obwohl sich in der Bachelier-Welt nichts geändert hat.
Bachelier vs. Black-Scholes Explorer
Die flache blaue gestrichelte Linie ist die Sicht von Bachelier: eine Vol für alle Strikes. Die grüne Kurve zeigt dieselben Optionspreise, in Black-Scholes-Begriffen ausgedrückt. Der „Skew“ ist ein Modellartefakt, keine Markteigenschaft.
Was jeder Parameter bewirkt
- Normale Volatilität: Der einzige Parameter. Gemessen in absoluten Preiseinheiten pro Jahr (nicht in Prozent). Eine normale Volatilität von 20 bedeutet, dass sich der Preis über ein Jahr voraussichtlich um $20 bewegt (eine Standardabweichung). Alle Strikes erhalten dieselbe Volatilität -- der Smile ist flach.
- Spotpreis: Ändert den Bachelier-Smile nicht (bleibt flach). Beeinflusst aber den BS-äquivalenten Smile dramatisch. Bei niedrigeren Spotpreisen entspricht dieselbe Dollar-Bewegung einer größeren prozentualen Bewegung, sodass die implizite BS-Volatilität steigt -- was einen scheinbaren Put-Skew erzeugt.
Warum der BS-„Skew" entsteht
Das Beta von SABR bestimmt das Backbone
Das Backbone von SABR (der Smile bei ausgeschalteter Vol-of-Vol) hängt von Beta ab. Beta = 0: Bachelier. Beta = 1: Black-Scholes. Beta legt fest, wo Sie sich im Spektrum zwischen normal und lognormal befinden.
Wo Bachelier verwendet wird
Nicht für Krypto-Spot-Optionen
Krypto-Spotpreise sind positiv und zeigen Hebeleffekte (die Volatilität steigt, wenn der Preis fällt). Der lognormale Rahmen (Black-Scholes-Familie) ist hier natürlicher. Bachelier ist das richtige Werkzeug für Zinsen, Spreads und alles, was negativ werden kann.
Bachelier vs. Black-Scholes im Überblick
Die Umrechnungsformel
Nahe ATM können Sie zwischen beiden umrechnen:
Ein Basiswert bei 30 normale Volatilität. Diese Näherung bricht jedoch abseits von ATM zusammen -- genau deshalb erscheint der BS-„Smile", wenn Sie Bachelier-Preise umrechnen.
Flacher Smile per Definition
Bachelier behandelt Preisänderungen als additiv. Sein Smile ist per Definition flach. Ein Skew, der nach der Umrechnung in BS-Größen erscheint, ist ein Artefakt der Modellwahl, keine Markteigenschaft.
Gleichungs-Explorer
Gleichungs-Explorer
💡 Tipp: Versuchen Sie jede Frage selbst zu beantworten bevor Sie die Antwort aufdecken.
Mathematische Intuition aufbauen
Bachelier von Grund auf lernenInteraktive Lektion · keine Vorkenntnisse nötigDiese Lektion beginnt mit dem verständlichen mentalen Modell und führt dann durch die normale Volatilität, die Preisformel und die Frage, warum ein flacher normaler Smile als Skew erscheinen kann, sobald Sie ihn in Black-Scholes-Größen übersetzen.
Siehe auch:
- Black-Scholes -- Das lognormale Gegenstück
- CEV-Modell -- Verbindet normal und lognormal über den Beta-Parameter
- SABR-Modell -- Verwendet Beta zur Wahl im Spektrum zwischen normal und lognormal
- Displaced Diffusion -- Ein weiterer Weg, mit Basiswerten nahe null umzugehen
- Implizite Volatilität -- Das Konzept, das davon abhängt, welches Modell Sie wählen
- Skew -- Modellartefakte von Markteigenschaften trennen